Kompaktlar ustida uzluksiz akslantirishlar

Kompaktlar ustida uzluksiz akslantirishlar Reja: Uzluksiz akslantirishdagi kompaktning obrazi haqida. Uzluksiz funkstionalning xossalari. Kantor teoremasi. Uzluksiz akslantirishdagi kompaktning obrazi haqida. 1-teorema. Kompakt to'plamning uzluksiz akslantirishdagi obrazi kompakt to'plam bo'ladi. Isboti. Aytaylik M kompakt to'plam va T:MY uzluksiz akslantirish bo'lsin. M*=T(M) to'plamning kompakt ekanligini isbotlash kerak. M* to'plamdan ixtiyoriy xn' ketma-ketlikni olib, xn orqali xn' nuqtaning T akslantirishdagi obrazini belgilaymiz. U holda M to'plamdagi xn ketma-ketlikka ega bo'lamiz. M kompakt to'plam bo'lganligi sababli bu ketma-ketlikdan M to'plamning biror s nuqtasiga yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib olish mumkin. T akslantirishda bu qism ketma-ketlik xn' ning qism ketma-ketligiga o'tadi. T akslantirishning s nuqtada uzluksizligidan M*. Shunday qilib, M* to'plamdan olingan har bir ketma-ketlik M* da yaqinlashuvchi qism ketma-ketlikka ega. Bu esa M* to'plamning kompakt ekanligini bildiradi. Teorema isbot bo'ldi. Uzluksiz funkstionalning xossalari. Aytaylik (X,) metrik fazoda f uzluksiz funkstional berilgan bo'lsin. 2-teorema. f funkstional M kompakt to'plamda chegaralangan hamda o'zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi. Isboti. Yuqoridagi 20-teoremaga asosan f funkstionalning qiymatlar to'plami f(M)=E, kompakt to'plam bo'ladi. Demak, E chegaralangan, ya'ni shunday a va b sonlar topilib, af(x)b bo'ladi. Bundan f funkstionalning M da chegaralanganligi kelib chiqadi. E to'plamning chegaralanganligidan, uning aniq yuqori va aniq quyi chegaralari mavjud. Endi =supE belgilash kiritamiz va 0 ga yaqinlashuvchi ketma-ketlikni olamiz. Aniq yuqori chegaraning ta'rifiga ko'ra, ketma-ketlikning har bir hadi uchun, M to'plamga tegishli shunday x nuqtalar topilib, -0 uchun shunday 0 topilsaki, (x1,x2) shartni qanoatlantiruvchi har qanday x1,x2M uchun ushbu tengsizlik bajarilsa, u holda f funkstional M to'plamda tekis uzluksiz deyiladi. M to'plamda tekis uzluksiz funkstionalning shu to'plamda uzluksiz bo'lishini ko'rish qiyin emas. Haqiqatan, aytaylik x0 nuqta M to'plamga tegishli bo'lsin. Hadlari M to'plamga tegishli bo'lib, x0 nuqtaga yaqinlashuvchi biror xn ketma-ketlikni tuzib olamiz. U holda, ixtiyoriy 0 uchun shunday 0 topiladiki, etarlicha katta n larda (xn,x0) tengsizlikning bajarilishidan |f(xn)-f(x0)| tengsizlikning bajarilishi kelib chiqadi. Demak, x0 nuqtaga yaqinlashuvchi ixtiyoriy xn ketma-ketlik uchun f(xn) ...