Kompaktlik kriteriyasi

Kompaktlik kriteriyasi Ta'rif. Aytaylik, A va V metrik fazodan olingan to'plamlar va musbat son bo'lsin. Agar A dan olingan ixtiyoriy x element uchun V da ushbu tengsizlikni qanoatlantiruvchi u element mavjud bo'lsa, V to'plam A to'plamga nisbatan -to'r deyiladi. Agar ixtiyoriy son uchun A to'plam chekli -to'rga ega bo'lsa, u holda A to'la chegaralangan to'plam deyiladi. 1-misol. da koordinatalari butun sonlardan iborat to'plam 1-to'rni tashkil etadi. 2-misol. fazoda har qanday chegaralangan A to'plam chekli -to'rga ega, ya'ni A to'la chegaralangan bo'ladi. 3-misol. fazoda A to'plamni quyidagicha aniqlaymiz: bu yerda bu to'plam ixtiyoriy uchun chekli -to'rga ega. Haqiqatdan xam, berilgan bo'lsin. A dan olingan har bir nuqtaga shu to'plamning o'zidan olingan (1) nuqtani mos qo'yamiz. U holda (1) ko'rinishdagi nuqtalardan iborat V to'plam fazoda chegaralagan; demak, V to'plam ixtiyoriy son uchun chekli to'rga ega bo'lib, to'la chegaralangan bo'ladi. 4-misol. fazoda en to'plam en=(0,0,…,1,0,0,…) chegaralangan, lekin to'la chegarlangan emas. Chunki bo'lganda, uni -to'rga qurib bo'lmaydi. Quyidagi teorema to'plam kompakt bo'lishining zaruriy va etarli shartlarini ifodalaydi. Teorema. X to'la metrik fazoda joylashgan A to'plamning kompakt bo'lishi uchun uning to'la chegaralangan bo'lishi zarur va etarli. Isboti. Zarurligi. Nisbiy kompakt A to'plamni to'la chegaralangan, ya'ni biror uchun a dan olingan ixtiyoriy x1 nuqta uchun shanday x2 nuqta mavjudki, bo'ladi. so'ng shunday x3 nuqta mavjud bo'ladiki, bo'ladi. Bu jarayonni cheksiz davom ettiramiz. Natijada quyidagi tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ketma-ketlikka ega bo'lamiz: . Ravshanki, bunday ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib olish mumkin emas. Bu esa A ning nisbiy kompaktligiga zid. Etarligi. X to'la fazo, A unda to'la chegaralagan to'plam bo'lsin. A ning nisbiy kompaktligini ko'ramiz. Faraz qilaylik, A to'plamning elementlaridan tuzilgan ixtiyoriy ketma-ketlik berilgan bo'lsin. Har bir uchun a da mos -to'rni qaraymiz. Aytaylik ixtiyoriy uchun chekli -to'r mavjud bo'lsin. Monoton kamayuvchi va 0 ga intiluvchi ketma-ketlikdan olingan har bir i (i=1, 2, 3, …) uchun i -to'r tuzib olamiz: Endi A to'plam elementlaridan tuzilgan cheksiz ketma-ketlikni qaraymiz va undan yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib olish mumkinligini isbotlaymiz. to'rning har bir nuqtasini markazi to'r nuqtalarida va radiusi ga teng sfera bilan o'rab chiqamiz. Bu holda ketma-ketlikning barcha hadlari qurilgan sferaning ichida joylashgan bo'ladi. ketma-ketlik hadlar chekiz ko'p sferalar esa chekli bo'lganligi sababli qurilgan sferalardan kamida biri ketma-ketlikning cheksiz ko'p hadlarini o'z ichida saqlaydi. Shu sferani T1 bilan belgilaymiz. Bu sferada joylashgan ketma-ketlikning cheksiz ko'phadlaridan tushgan to'plamni A1 bilan belgilaymiz. to'rning T1 sfera ichida joylashgan nuqtalarini qaraymiz. Bu nuqtalarning har birini markazi shu nuqtada va radiusi ga teng bo'lgan sferalar bilan ...