Ko'phad diskriminanti

Ko'phad diskriminanti Reja: 1.Ko'phad diskriminant ta'rifi. 2.Ko'phad diskriminantini hisoblash. 3.Misollar. Р[x1,x2,,xn] ko'phadlar halqasida ko'phadni qaraylik, uni Vandermond determinanti orqali ifodalash mumkin: (1) Shunday qilib,ushbu determinant o'zining ustunlariga nisbatan kososimmetrik funksiya bo'ladi, u holda -Sn o'rniga qo'yishning ishorasi bo'ladi. Bu holda simmetrik ko'phad bo'ladi va asosiy teoremaga ko'ra uni elementar simmetrik ko'phadlar orqali ifodalash mumkin: Dis(s1,…,sn) s1(x1,,xn),,sn(x1,,xn) larning ko'phadi bo'ladi va u x1,,xn тlar oilasini diskriminanti deyiladi. Ravshanki, uni koeffisientlari Z da yotadi. xi o'rniga biror xi0 F i = 1,2,,n larni qo'yish (F - Р maydonning biror kengaytmasi), F maydonning ixtiyoriy n elementlari to'plamini diskriminanti haqida gapirishga imkon beradi. Agar barcha x1,,xn F har xil bo'lmasa, u holda bu to'plam diskriminanti nolga teng bo'ladi. Chunki xi-xj ko'paytmalardan kamida bittasi nolga teng bo'ladi. Diskriminantni hosil qilishning eng oson yo'li = (Ma'lumki, ixtiyoriy A matritsa uchun det tA = det A ) tenglikdan foydalanish. Matritsalarni ko'paytirishdan foydalanib quyidagi tenglikni hosil qilamiz: (2) bunda pk - ma'lum darajali yig'indi.pk larni ma'lum rekurent formulalardan topamiz: pk-pk-1s1+ pk-2s2++(-1)k-1p1sk-1+ (-1)kksk = 0, agar 1 k n bo'lsa; (3) va pk-pk-1s1 + pk-2s2 ++ (-1)n-1pk-n+1sn-1+ (-1)n pk-nsn = 0, agar k n bo'lsa; (4). Natijada Dis (s1,,sn) lar uchun oshkor ifodalarni hosil qilamiz Xususan, p1= s1, p2 = s12-2s2, u holda (4) Ildizlari c1,c2,,cn lar biror Р maydondan yoki uning biror kengaytmasi.F maydondan olingan unitar f(x) = xn + a1xn-1 ++an-1x + an P[x] ko'phad berigan bo'lsin. Ma'lumki, Viet formulasiga ko'ra, ak= (-1)ksk(c1,c2,,cn). Ta'rif. f ko'phadning с1,,cn ildizlari to'plami diskriminanti Dis(s1,,sn) da sk lar o'rinlariga mos ravishda (-1)kak larni qo'yishdan hosil bo'lgan ifodaga f ko'phadning diskriminanti deyiladi va D(f) deb belgilanadi. U f(x) = xn + a1xn-1 ++ an-1x + an = 0. (5) algebraic tenglamaning diskriminanti ham deb ataladi.Ravshanki, D(f) P . Tasdiq. D(f) = 0 bo'lganda va faqat shu holdagina (5) tenglama karrali ildizga ega bo'ladi( ya'ni birorta ildizining karraligi k 1 bo'ladi). (4) formulani kvadrat uchhadga qo'llash mumkin: f(x) = x2 +ax+b bunda a, va b lar haqiqiy sonlar, u holda D(f) = a2 - 4b - bo'ladi, bu bizga elementar matimatikadan ma'limb o'lgan ifoda. Xususan, D(f) ishora x2+ax+b=0 tenglamaning ildizlarini haqiqiy yoki kompleks qo'shma ekanligiga bog'liq. Misol sifatida to'la bo'lmagan kubik tenglamaning diskriminantini hisoblaymiz: f(x) = x3 +ax +b = 0. Bu holda s4 = 0 va pk lar rekurent formulalarga ko'ra p1= s1= 0, p2 = s12-2s2 = -2a, p3 = s13-3s1s2+3s3 = -3b, p4 = s14- 4s12s2+4s1s3+2s22 = 2a2. ...