Metrik fazolar. Metrik fazoda ochiq va yopiq to'plamlar

Metrik fa'zolar. Metrik fazoda ochiq va yopiq to'plamlar Reja: 1. Metrika ta'rifi. 2. Metrik fa'zolar. 3. Metrik fazoga misollar. Metrik fazoning ta'rifi 1-ta'rif. Agar biror X to'plamning o'zini o'ziga to'g'ri (Dekart) ko'paytmasi XX ni R+=[0; +) ga aks ettiruvchi (x,y) funksiya berilgan bo'lib, u quyidagi shartlarni (metrika aksiomalarini) 1) (x,y) 0; (x,y)=0 munosabat faqat x=u bo'lganda bajariladi; 2) (x,y)= (y,x) (simmetriklik aksiomasi); 3) (x,y) (x,z)+ (z,y) (uchburchak aksiomasi) qanoatlantirsa, u holda X to'plam metrik fazo deyiladi. Kiritilgan (x,y) funksiya metrika, yuqoridagi shartlar esa metrika aksiomalari deyiladi. Odatda metrik fazo (X,) ko'rinishda belgilanadi. Metrik fazoga misollar. 1) Haqiqiy sonlar to'g'ri chizig'i: X=R. Bu to'plamda x va u sonlar orasidagi masofa (x,y)=|y-x| bo'yicha hisoblanadi. 2) n-o'lchamli Evklid fazosi: X=R2n, va x=(x1,x2,,xn), y=(y1,y2,,yn) nuqtalar orasidagi masofa (x,y)= formula yordamida hisoblanadi. Xususan n=2 bo'lganda bu metrik fazo Evklid tekisligi deyiladi. 3) n-o'lchamli fazoning x=(x1,x2,,xn) va y=(y1,y2,,yn) nuqtalari orasidagi masofa (x,y)= deb aniqlansa, u metrik fazo bo'ladi (isbotlang) va R1n orqali belgilanadi. 4) n-o'lchamli fazoning x=(x1,x2,,xn) va y=(y1,y2,,yn) nuqtalari orasidagi masofa (x,y)=|yk-xk| deb aniqlansa, u metrik fazo bo'ladi (isbotlang) va Rn orqali belgilanadi. 5) X=l2=x=(x1, x2,, xn, ),xiR va , (x,y)=; 6) X=C[a;b]- [a;b]-kesmada aniqlangan uzluksiz funksiyalar to'plamida metrikani quyidagicha kiritamiz: (x,y)=. Bu funksiyaning metrika bo'lishligini tekshirish qiyin emas. Metrika aksiomalaridan birinchi va ikkinchisining o'rinliligi ravshan. Uchburchak aksiomasini tekshiramiz. Ixtiyoriy t[a;b] nuqta va x(t), y(t), z(t) funksiyalar uchun ushbu munosabat bajariladi: |x(t)- y(t)| = |( x(t)- z(t)) + ( z(t)- y(t))| | x(t)- z(t)|+| z(t)- y(t)|. Bu tengsizlikdan | x(t)- y(t)| | x(t)- z(t)|+ | z(t)- y(t)| bo'lishi kelib chiqadi. Oxirgi tengsizlik (x,y) (x,z)+(z,y) ekanligini bildiradi. 7) [a;b]-kesmada uzluksiz funksiyalar to'plamida metrikani quyidagicha ham kiritish mumkin: (x,y)=. Bu metrik fazo C1[a;b] orqali belgilanadi. 8) [a;b]-kesmadada kvadrati bilan integrallanuvchi funksiyalar to'plamida (x,y)= funksiya metrika aksiomalarini qanoatlantiradi. [2] Bu metrik fazo C2[a;b] orqali belgilanadi. Bo'sh bo'lmagan ixtiyoriy to'plamda metrika kiritish mumkinmi degan savolga quyidagi misol ijobiy javob beradi. 9) X- bo'sh bo'lmagan ixtiyoriy to'plam bo'lsin. x, uX uchun (x,y)= shart bilan funksiya aniqlaymiz. Bu funksiya metrika aksiomalarini qanoatlantiradi. Bunday aniqlangan metrik fazo trivial metrik fazo, metrika esa, trivial metrika deyiladi. 2. To'g'ri chiziqda quyidagi a) (x,y)=x3-y3; b) (x,y)=|x3-y3|; c) (x,y)=|arctgx-arctgy| funksiyalarning qaysi biri metrika bo'ladi? 3. Agar M=a,b,c to'plamda (a,c)=(c,a)=(a,b)=(c,b)=2, (b,c)= (b,a)=1 kabi aniqlangan funksiya metrika bo'ladimi? uchburchak aksiomasini qanoatlantiradimi? 4. Agar M=a,b,c to'plamda (a,b)=(b,s)=1 shartni qanoatlantiruvchi metrika berilgan bo'lsa, u holda (a,s) qanday qiymatlarni qabul qilishi mumkin? 5. Metrika aksiomalari quyidagi 1) (x,y)=0 munosabat faqat x=u ...