Metrik fazolarda uzluksiz akslantirishlar

Metrik fa'zolarda uzluksiz akslantirishlar Reja: Uzluksiz akslantirish, misollar. Izometriya, uning uzluksizligi. Uzluksiz akslantirishning xossalari. Uzluksiz akslantirish, misollar. (X,X) va (Y,Y) metrik fa'zolar bo'lib, T:XY akslantirish berilgan bo'lsin. 1-ta'rif. Agar M to'plamdagi x0 nuqtaga X da yaqinlashuvchi bo'lgan ixtiyoriy xnM ketma-ketlik uchun ushbu TxnTx0 munosabat Y da bajarilsa, u holda T akslantirish x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. 2-ta'rif. Agar ixtiyoriy 0 soni uchun shunday 0 son topilib, X(x0,x) shartni qanoatlantiruvchi barcha xX lar uchun Y(T(x0),T(x)) tengsizlik bajarilsa, u holda T akslantirish x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. 3-ta'rif. Agar b=T(x0) nuqtaning ixtiyoriy V atrofi uchun X fazoda x0 nuqtaning T(U)V shartni qanoatlantiruvchi U atrofi mavjud bo'laversa, T akslantirish x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Bu uchala ta'rifning teng kuchliligi, yoki boshqacha aytganda ekvivalentligi matematik analiz kursidagi funksiya uzluksizligi kabi isbotlanadi. Misol. C[0;1] fazoni R ga akslantiruvchi T:xx(1) akslantirish ixtiyoriy a «nuqta»da uzluksiz bo'ladi, bu yerda x va a «nuqtalar» [0;1] kesmada uzluksiz funksiyalar. Haqiqatan, 0 son berilgan bo'lsin. U holda = deb olamiz. Endi C(a,x)=|x(t)-a(t)|, R(Ta,Tx)=|x(1)-a(1)| C(a,x) bo'lganligi sababli, C(a,x) shartdan R(Ta,Tx) tengsizlikning kelib chiqishi ravshan. C1[0;1] fazoni R ga akslantiruvchi T:xx(1) akslantirish (t)0 nuqtada uzluksiz emas. Haqiqatan, xn(t)=tn ketma-ketlik C1[0;1] fazoda (t)0 funksiyaga yaqinlashadi, lekin Txn= xn(1)=1, T=0, demak (Txn) ketma-ketlik T ga yaqinlashmaydi. 4-ta'rif. Agar T o'zining aniqlanish sohasining har bir nuqtasida uzluksiz bo'lsa, u holda T uzluksiz akslantirish deyiladi. Xususan Y=R bo'lgan holda, uzluksiz akslantirish uzluksiz funkstional deyiladi. S[0;1] fazoni R ga akslantiruvchi T(x)=x(1) akslantirish uzluksiz funkstionalga misol bo'ladi. Izometriya, uning uzluksizligi. (X,X) va (Y,Y) metrik fa'zolar va T:XY akslantirish berilgan bo'lsin. 5-ta'rif. Agar X fazodan olingan ixtiyoriy a va b nuqtalar uchun X(a, b)= Y(T(a),T(b)) tenglik bajarilsa, u holda T izometrik akslantirish yoki izometriya deyiladi. Ravshanki, har qanday izometriya uzluksiz akslantirish bo'ladi. Tekislikdagi har qanday harakat izometriyaga misol bo'ladi. Uzluksiz akslantirishning xossalari. 1-teorema. Aytaylik T: XY akslantirish X fazoning a nuqtasida, f:YZ akslantirish Y fazoning b=T(a) nuqtasida uzluksiz bo'lsin. U holda X ni Z ga akslantiruvchi xF(T(x)) murakkab akslantirish a nuqtada uzluksiz bo'ladi. Isboti. Z fazo c=F(T(a)) nuqtasining ixtiyoriy W atrofini olamiz. F akslantirish b=T(a) nuqtada uzluksiz va c= F(b) bo'lganligi sababli, b nuqtaning F(V)W shartni qanoatlantiruvchi V atrofi mavjud. Shunga o'xshash, T akslantirish a nuqtada uzluksiz bo'lganligi sababli, bu nuqtaning T(U)V shartni qanoatlantiruvchi U atrofi mavjud. U holda F(T(U))T(V)W ga ega bo'lamiz. Bu esa xF(T(x)) akslantirishning a nuqtada uzluksiz ekanligini isbotlaydi. 2-teorema. Agar T akslantirish X metrik fazoni Y metrik fazoga aks ettiruvchi uzluksiz akslantirish bo'lsa, u holda Y fazodan olingan ...