Operatorlar fazosi

Operatorlar fazosi E va F chiziqli fa'zolar bo'lib, L(E,F) esa E fazoni F fazoga akslantiradigan barcha chiziqli operatorlar to'plami bo'lsin. L(E,F) to'plamda (A+V)x=Ax+Vx tenglik bilan ikkata A va V operatorlarni qo'shish amalini aniqlash mumkin. Xuddi shuningdek, bu to'plamda A operatorni €R songa ko'paytirish amalini xam kuyidagicha aniqlash mumkin: (A)x=Ax L(E,F) to'plamni kiritilgan amallarga nisbatan chiziqli fazo tashkil etishini tekshirish qiyin emas. Masalan, bu fazoning nol elemnet o- nol operator bo'ladi. A operatorga qarama-qarshi operator bo'ladi. A operatorga qarama-qarshi operator esa, (-1) A bo'ladi. Xususiy holda, agar E=F bo'lsa, ya'ni aniqlanish sohasi E bo'lgan operatorlarning qiymatlar sohasi xam yana E fazoda yotsa, u holda L(E,F) fazoda operatorlarni ko'paytirish amalini xam aniqlash mumkin bo'ladi. Agar A,V€ L(E,F) bo'lsa, (AV) x=A(Vx) tenglik bilan A va V operatorlarni ko'paytirishga nisbatan birlik element rolini uynaydi va L(E,F) to'plam birlik elementli halqa tashkil etadi. Bu halqa tashkil etadi. Bu halqa umumiy holda kommutativ emas. Masalan, E=Rn bo'lib n1 shart bajarilsa L(Rn,Rn) fazo barcha ikkinch tartibli haqiqiy elementli matristalar halqasiga izomorf bo'lgan halqa bo'lib, bu halqa kommutativ emas. Agar A € L(E,E) operator uchun AV=J va SA=J (bu yerda J- ayniy almashtirish) tengliklarni qanoatlantiruvchi V va S operatorlar mavjud bo'lsa, u holda V va S operatorlar bir xil bo'ladi, chunki V= (SA)V= S(AV)=SJ=C iunosabatlar o'rnili bo'ladi. Shu bilan birga bunday V operatorni A ga teskari operator deyiladi va uni A-1 ko'rinishda belgilanadi. Aytaylik, E va F normalangan fa'zolar bo'lsin. U holda, A: E→F operator uchun ║Ax║K║x║, E tengsizlik qanoatlantiruvchi K son mavjud bo'lgan holda A operatorni chegaralangan deyiladi. AL(E,F) operator uchun ║A║=infK|║Ax║K║x║, E son uning normasi deyiladi. Operatorning normasi uchun ║A║=sup║Ax║=sup║Ax║ ║x║1 ║x║=1 munosabatlar o'rinli ekanin isbotlash mumkin. xakikatan xam, ║A║ ...