Optimal boshqaruv nazariyasi. Pontryaginning maksimum prinsipi. Maksimum prinsipining qo'llanilishi

Optimal boshqaruv nazariyasi. Pontryaginning maksimum prinsipi Maksimum prinsipining ko'llanilishi Reja: Optimal boshqaruv nazariyasi. Pontryaginning maksimum prinsipi Maksimum prinsipining ko'llanilishi Variatsion hisob rivojlanishining hozirgi zamon bosqichini aks ettiruvchi optimal boshqaruv nazariyasi texnika rivojlanishining xilma-xil sohalarida amaliyot tomonidan qo'yilgan qator masalalarni yechish zarurati bilan bog'lik ravishda, XX asrning 50-yillarida vujudga keldi. Bu masalalar matematik mohiyati jihatidan variatsion bo'lib, klassik modellar doirasiga joylashmadi va ularni yechishning yangi usullarini ishlab chiqishni talab kildi. Optimal boshqaruv nazariyasida 1956 yilda L. S. Pontryagin boshchiligidagi matematiklar guruhi tomonidan ochilgan Pontryaginning maksimum prinsipi asosiy usul (natija) sifatida tan olingan. Optimal boshqaruv masalalarini tekshirishda R. Bellmanning dinamik programmalash usuli xam katta rol o'ynaydi. Optimal boshqaruvning asosiy masalasi Optimal boshqaruvning matematik nazariyasidagi birinchi masala tez ta'sir masalasi bo'lib, u boshqaruvning optimal tizimlarini ko'rish haqidagi ko'pkina injenerlik masalalarining umumiy xoli sifatida yuzaga kelgan va unda mujassam savollar kompleksining muvaffakiyatliligiga muvofiq asosiy masala bo'lib koldi. 1. Eng sodda mexanik harakatni tez ta'sir bo'yicha optimal boshqaruv masalasi. Birlik massali moddiy nuqtani moduli bo'yicha birdan katta bo'lmagan gorizontal kuch yordamida minimal vaqt davomida gorizontal tug'i chiziq bo'yicha u berilgan V0 tezlikka ega bo'lgan boshlang'ich A holatdan berilgan tezlikda oxirgi V holatga o'tkazish talab kilinsin. Masalaning matematik kuyilishini boshqaruv obyektining o'zgarishini ifodalashdan - moddiy nuqtaning harakatidan boshlaymiz. Nyuton qonuniga asosan nuqtaning Ox buylab harakati tenglama bilan ifodalanadi, bu yerda - nuqtaning vaqt momentidagi tezlanishi; - boshqaruv obyektiga momentda ta'sir kiladigan kuchning kattaligi. Masalaning fizik kuyilishidan uchun ushbu cheklashlar kelib chiqadi: (2) bu yerda - nuqtaning tezligi; - boshlang'ich momenti - harakatning oxirgi momenti. Farazimizga ko'ra nuqtaga qo'yiladigan kuchning qiymatlari xam chegaralangan: . (3) Karalayotgan masalaga o'xshash masalalarning dastlabki injenerlik kuyilishlarida kuchning bo'lakli uzluksiz funksiyalar mos kelgan qonunlari bo'lishi mumkinligi etirof qilingan. Shunday qilib, karalayotgan masalaning matematik modeli (3) cheklashlarni kanoatlantiridigan shunday bo'lakli uzluksiz funksiyani topishdan iboratki (1) tenglamaning unga mos yechimi (2) chegaraviy shartlarni kanoatlantirsin va oxirgi moment minimal bo'lsin. Agar faza o'zgaruvchilari (boshqaruv obyektining holat o'zgaruvchilari) ga utsak, bayon qilingan masala quyidagi ko'rinishni oladi: (4) Pontryaginning maksimum prinsipi Optimal boshqaruv masalalarida masalaning gamiltonianini maksimallashtirish bilan bog'liq bo'lgan optimallikning asosiy zaruriy sharti maksimum prinsipi deb ataladi. Bu malum birinchi tartibli zaruriy shartlar ichida eng kuchlisidir. Mazkur paragrafda maksimum prinsipi sof natija olishda juda qulay bo'lgan terminal boshqaruvning eng sodda masalasi uchun isbotlanadi. 1. Terminal boshqaruv eng sodda masalasining qo'yilishi. Aytaylik, obyektning harakati (1) Tenglama bilan ifodalansin, bu yerda x-n-holat vektori; u-r-boshqaruv vektori; t-skalyar (vaqt), boshlang'ich moment va holat; vaqtning oxirgi momenti. Muvofiq boshqaruvlar sinfini 1-§ ...