O'rin almashtirishlar

O'rin almashtirishlar Elementlaribo'lganto'plamni qaraymiz. Bu to'plam elementlarini har xil tartibda joylashtirib (yozib), tuzilmalar (kombinatsiyalar) hosil qilish mumkin, masalan, ava2,a3,,an; a2,avav,an; a2,avav,an. Bu tuzilmalarning har birida berilgan to'plamning barcha elementlari ishtirok etgan holda ular bir-biridan faqat elementlaming joylashish o'rinlari bilan farq qiladilar. Shu usul yordamida hosil qilingan kombmatsiyalarning har biri berilgan ava2,a3,,aj to'plam elementlarining o'rin almashtirishi, deb ataladi. Aslida «o'rin almashtirish» iborasi to'plam elementlarining o'rinlarini o'zgartirish harakatini anglatsa-da, bu yerda uni shu harakat natijasidagi hosil bo'lgan tuzilma sifatida qo'llaymiz. Bu iboradan uning asl ma'nosida ham foydalanamiz. O'rin almashtirishni ifodalashda uning elementlarini ajratuvchi belgi sifatida yuqorida «,» (vergul) belgisidan foydalanildi. Ammo bu muhim emas, bu yerda boshqa belgidan ham foydalanish, hattoki, yozuvning ixchamligi maqsadida, elementlar orasidagi ajratuvchi belgilarni tushirib qoldirish ham mumkin. Bu eslatma bundan keyin bayon etiladigan boshqa kombinatorik tuzilmalar uchun ham o'rinlidir. To'plam tushunchasiga asoslanib, bu yerda qaralayotgan o'rin almashtirishlar tarkibida elementlaming takrorlanmasligini eslatib o'tamiz. Shu sababli bunday o'rin almashtirishlarni betakror (takrorli emas) o'rin almashtirishlar, deb ham atash mumkin.Ushbu bobning 4-paragrafida takrorli o'rin almashtirishlar ko'riladi. Berilgan n ta elementli to'plam uchun barcha o'rin almashtirishlar sonini Pnbilan belgilash qabul qilingan1. Bitta elementli a to'plam uchun faqat bitta a ko'rinishdagi o'rin almashtirish borligi ravshandir: P=l. Ikkita elementli a,b to'plam elementlaridan o'rin almashtirishlarni bitta elementli a to'plam uchun a o'rin almashtirishidan foydalanib, quyidagini tashkil qilamiz: b element a elementdan keyin yozilsa, ab o'rin almashtirishga, oldin yozilsa esa ba o'rin almashtirishga ega bo'lamiz. Demak, ko'paytirish qoidasiga (ushbu bobning 1-paragrafiga qarang) binoan, ikkita o'rin almashtirish bor: P2=2=l-2. Uchta elementli a,b,c to'plam uchun o'rin almashtirishlar tashkil qilishda ikkita elementli a,b to'plam uchun tuzilgan ab va ba o'rin almashtirishlardan foydalanish mumkin. Berilgan to'plamning сelementini ab vaba o'rin almashtirishning har biriga uch xil usul bilan joylashtirish mumkin: ularning elementlaridan keyin, elementlarining orasiga va elementlaridan oldin. Ko'paytirish qoidasini qo'llasak, uchta elementli a,b,c to'plam uchun oltita (P3=6=l-2-3) har xil o'rin almashtirishlar hosil bo'lishini aniq-laymiz. Ular quyidagilardir: To'rtta elementli a,b,c,d to'plamni qarab, uchta elementli a,b,c to'plam uchun tuzilgan oltita o'rin almashtirishlarning har biriga d elementni to'rt xil usul bilan joylashtirish imkoniyati borligini e'tiborga olsak, ko'paytirish qoidasiga ko'ra, P4=24=l-2-34 bo'lishini topamiz. Bu yerda barcha o'rin almashtirishlar quyidagilardir: Shu tarzda davom etib «n ta elementli to'plam uchun barcha o'rin almashtirishlar soni birdan n gacha bo'lgan barcha natural sqnlarning ko'paytmasiga teng» deb faraz qilish mumkin: P=-2--(n-)n. Bu farazning to'g'riligi quyidagi 1-teoremada isbot qilinadi. Dastlabki «ta natural sonlar ko'paytmasini n ko'rinishida1 belgilash qabul qilingan, ya'ni 1-2-3--n=n. n belgisidan bunday ma'noda birinchi bo'lib K. Kramp21808-yilda nashr ...