Qo'shma fazolar. Chiziqli operatorlar

Qo'shma fa'zolar. Chiziqli operatorlar . Fure qatorlari Reja: Qo'shma fa'zolar. Chiziqli operatorlar . Fure qatorlari Qo'shma fa'zolar. - banax fazosi, - haqiqiy o'q (agar - haqiqiy bo'lsa) yoki kompleks tekislik (agar kompleks bo'lsa) bo'lsin. - da berilgan chiziqli chegaralangan funksionallar fazosi bo'lsin. Bu fazo fazoga qo'shma faza deyiladi va bilan belgilanadi. chiziqli funksionalning elementdagi qiymatini yoki kabi belgilaymiz. belgilash odatda skalyar ko'paytmani bildiradi va ko'pchilik hisoblashlarda qulaylik tug'diradi. Xususan va lar chiziqliligidan quyidagi tengliklar o'rinli Bu yerda sonlar, elementlar funksionallar. Agar bo'lsa, u holda . Bu xossa nol funksional ta'rifini bildiradi. Chiziqli funksional normasi quyidagi formula orqali hisoblanadi: Teorema (F.Riss). - Gilbert fazosi (kompleks yoki haqiqiy) bo'lsin. da berilgan ixtiyoriy chiziqli chegaralangan funksional uchun yagona element mavjud bo'lib, barcha lar uchun , o'rinli bo'ladi. 14-Topshiriq 1. va bo'lishini ko'rsating. 2. Gilbert fazosi o'z - o'ziga qo'shma fazo bo'lishini ko'rsating. 3. fazoni o'z - o'ziga qo'shma fazo bo'lishini ko'rsating. 4. fazoga qo'shma fazo absolyut yaqinlashuvchi funksiyalar ketma - ketligidan tuzilgan fazoga izomorfligini ko'rsating. 5. fazoning qo'shma fazosi fazoga izomorfligini ko'rsating. Chiziqli operatorlar. va - ikkita chiziqli topologik fazo bo'lsin. ni ga aks ettiruvchi chiziqli operator deb, shartni qanoatlantiruvchi akslantirishga aytiladi. Barcha larning to'plami operatorning aniqlanish sohasi deyiladi, umuman aytganda deb faraz qilinadi, bazan chiziqli ko'pxillik, yani agar bo'lsa u holda barcha uchun deb hisoblaymiz. operator nuqta uzluksiz deyiladi, agar nuqtaning istalgan atrofi uchun nuqtaning shunday atrofi mavjud bo'lib, da bo'lsa, operator uzluksiz deyiladi, agar har bir da uzluksiz bo'lsa. Agar va -normallangan fa'zolar bo'lsa, bu ta'rifni quyidagi ko'rinishda berish mumkin: Agar ixtiyoriy son uchun shunday mavjud bo'lsaki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi uchun tenglik bajarilsa, operator uzluksiz deyiladi. Chiziqli operatorlarga misollar. 1. -chiziqli topologik fazo bo'lsin. Barcha uchun deb olamiz. Fazoning har bir elementini uzluksiz o'ziga o'tkazuvchi operatorga birlik operator deyiladi. 2. va-ixtiyoriy chiziqli topologik fazo bo'lsa va barcha uchun bo'lsa nol operator deyiladi. 3. operator bazisli o'lchamli fazoni bazisli o'lchamli fazoga akslantiruvchi chiziqli operator bo'lsin. Agar dan olingan ixtiyoriy vektor bo'lsa, u holda bo'ladi va operatorning chiziqliligiga ko'ra bo'ladi. Shunday qilib, operator berilgan bazisni qanday akslantirishi bilan to'liq aniqlanadi. vektorlarning bazis bo'yicha yoyilmasini qaraymiz. ga ega bo'lamiz. Bu yerdan ko'rinadiki operator matritsa koeffitsiyentlarini aniqlaydi. fazoning fazodagi (obrazi) aksi chiziqli qism fazoni ifodalaydi. Uning o'lchami esa matritsa rangiga teng, yani har qanday holda ham dan oshmaydi. Takidlaymizki, chekli o'lchamli fazoda har qanday chiziqli operator uzluksiz bo'ladi. 4. kesmada uzluksiz funksiyalar fazosida (1) formula bilan aniqlanuvchi operatorni qaraymiz, bu yerda -biror tayinlangan ikki o'zgaruvchili uzluksiz ...