Separabellik va kompaktlik

Separabellik va kompaktlik Separabel fazo. n, S[a,b] va fa'zolarning separabelligi. 1-ta'rif. (X,r) metrik fazoda M, N to'plamlar uchun bo'lsa, M to'plam N to'plamda zich deyiladi. Xususan, agar M to'plam X da zich bo'lsa, u holda M hamma yerda zich to'plam deyiladi. 1-misol. Agar (,) metrik fazoda bo'lsa, u holda bo'ladi. Ta'rifga ko'ra M to'plam N to'plamda zich. 2-misol. Yuqoridagi misolda N sifatida to'plamni qaraymiz. Bu holda ham M to'plam da zich bo'ladi. 3-misol. Agar (R,p) metrik fazoda (yoki yoki ) bo'lsa, ravshanki bo'ladi. Ta'rifga ko'ra M to'plam N da zich bo'ladi. 2-ta'rif. Agar M to'plam hech bir sharda zich bo'lmasa, u holda M to'plam hech qaerda zich emas deyiladi. Ya'ni, agar ixtiyoriy S sharning ichida M to'plam bilan kesishmaydigan S1 shar topilsa, M to'plam hech qaerda zich emas deyiladi. 4-misol. (n,) metrik fazoda to'plam, bu yerda hech qaerda zich emas. 5-misol. (n,) metrik fazo ixtiyoriy chekli to'plam, hech qaerda zich bo'lmagan to'plamga misol bo'la oladi. 3-ta'rif. Agar (X,) metrik fazoning hamma erida zich bo'lgan sanoqli yoki chekli to'plam mavjud bo'lsa, u holda X separabel fazo deyiladi. 6-misol. n separabel fazo bo'ladi. Haqiqatdan ham, n fazoda koordinatalari rastional sonlardan iborat bo'lgan nuqtalar to'plami sanoqli bo'lib, n ning hamma erida zich. 7-misol. C[a,b] metrik fazo separabel fazo bo'ladi. Haqiqatdan ham, koordinatalari rastional sonlardan iborat bo'lgan ko'phadlar to'plami Pr sanoqli to'plam va bu to'plam birga ko'phadlar to'plami P da zich, P esa matematik analizdagi Veyershtrass teoremasiga ko'ra C[a,b] da zich. Bu esa C[a,b] ning separabel fazo ekanligini ko'rsatadi. Endi fazoning zich ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun bo'ladigan sanoqli to'plamning mavjudligini isbotlash etarli. Aytaylik, bo'lsin. Bu elementga fazoda ushbu ko'rinishdagi sanoqli to'plamni mos qo'yamiz: Bunda bo'lib, u etralicha katta n ni tanlash evaziga oldindan berilgan musbat sondan kichik qilib olish mumkin. x(n) nuqtalar to'plami bilan bir qatorda quyidagicha aniqlanadigan musbat nuqtalar to'plamini qaraymiz: bu yerda rastional sonlar quyidagi shartlarni qanoatlantiradi: Bunday tanlashni har doim bajarish mumkin. Ikkinchi tomondan, etarlicha katta n-larda o'rinli. Demak, etarlicha katta n larda o'rinli. Bundan x nuqtaning ixtiyoriy atrofida nuqtalar mavjud. Bunday nuqtalar to'plami fazo, demak, fazo ham separabel fazo ekan. fazoning separabelligi. Quyidagicha aniqlangan chegaralangan o'lchovli funksiyalar to'plamini qaraymiz: Ravshanki, ixtiyoriy va ixtiyoriy uchun etarlicha katta N larda funksiyani topish mumkinki, (1) bo'ladi. C[a,b] fazoning xossasiga ko'ra ixtiyoriy va ixtiyoriy funksiya uchun mavjud bo'lib, (2) o'rinli bo'ladi. O'z navbatida [a,b] kesmada uzluksiz bo'lgan ixtiyoriy y(t) funksiya uchun rastional koeffistientli p(t) funksiya mavjud bo'lib, (3) o'rinli bo'ladi. (1), (2), va (3) ...