Shturm teoremasi

Shturm teoremasi Reja: Shturm sistemasi ta'rifi. Shutrm teoremasi. Shutrm teoremasi isboti. Shutrm teoremasi doir misollar. Haqiqiy koeffisientli f(x) ko'phadning haqiqiy ildizlarini sonini topish masalasini ko'raylik.Quyida biz musbat ildizlar soni, manfiy ildizlar soni va avvaldan berilgan a va b sonlar orasidagi ildizlar sonini topish masalasini ko'ramiz.Bu masalalarga bir muncha sodda bo'lgan Shturm metodini qo'llab javob beramiz.Noldan farqli bo'lgan haqiqiy sonlarning birorta tartiblangan sistemasi, masalan 1, 3, -2, -5, 6, 1, 3, -1, -1, 4, 1 (1) berilgan bo'lsin, Bu sonlarni ishoralarini yozib chiqaylik: + , + , - , - , + , + , + , - , - , + , + (2) Biz bu ishoralar sistemasida qarama-qarshi ishoralar 4 marta almashganini, ketma-ket turganini ko'ramiz. Shu sababli (1) tartiblangan sistemada 4 marta ishora o'zgaradi (almashadi ) deyiladi. Demak noldan farqli haqiqiy sonlarning ixtiyoriy tartiblangan chekli sistemasi uchun ishora almashishlar sonini har doim topish mumkin. Haqiqiy koeffisientli f(x) ko'phad berilgan bo'lsin va u karrali ildizga ega emas deb faraz qilaylik. Agar f(x) ko'phad karrali ildizlarga ega bo'lsa, u holda uni o'zi bilan hosilasining eng katta umumiy bo'luvchisiga bo'lib yuborib har doin karrali ildizga ega bo'lmagan ko'phadni hosil qilishimiz mumkin. Agar quyidagi shartlar bajarilsa noldan farqli ko'phadlarning tartiblangan chekli sistemasi f(x)= f0(x) , f1(x) , f2(x),, fs(x) (3) f(x) ko'phadning Shturm sistemasi deyiladi. 1). (3) sistemaning qo'shni ko'phadlari umumiy ildizga ega emas. 2).Oxirgi fs(x) ko'phad haqiqiy ildizga ega emas. 3). Agar son (3) sistemaning oraliq ko'phadlaridan biri bo'lgan fk(x) ko'phadning haqiqiy ildizi bo'lsa,( 1 k s-1) u holda fk-1() va fk+1() qarama-qarshi ishoraga ega bo'ladilar. 4). Agar son f(x) ko'phadning haqiqiy ildizi bo'lsa, u holda x o'sa borib dan o'tganda f(x)f1(x) ko'paytma o'z ishorasini manfiydan musbatga o'zgartiradi. f(x) ko'phad shunday (3) Shturm sistemasiga ega deb faraz qilaylik.(Ixtiyoriy ko'phadning Shturm sistemasiga egaligi masalasini keyinroq ko'ramiz) . Agar c haqiqiy son berilgan f(x) ko'phadning haqiqiy ildizlaridan ibrat bo'lmasa, u holda haqiqiy sonlarning f(c ) , f1(c ), f2( c ),,fs( c) sistemasini olamiz, undan barcha nolga tenglarini o'chiramiz va W( c) orqali qolgan sistemaning ishora o'zgarishlar sonini belgilaylik. Ta'rif.W( c) ni f(x) ko'phadning (3) Shturm sistemasida x = c bo'lgandagi ishora o'zgarishlar soni deyiladi. Teorema.(Shturm teoremasi) Agar a va b (a b) haqiqiy sonlar karrali ildizi bo'lmagan f(x) ko'phadning ildizlari bo'lmasa, u holda W(a) W(b) bo'ladi va W(a)-W(b) ayirma f(x) ko'phadning a va b orasida joylashgan haqiqiy ildizlari soniga teng bo'ladi. Isboti. Teoremani isbotlash uchun x o'sishi bilan W(x) son qanday o'zgarishini ...