Trigonometrik ayniyatlar

Trigonometrik ayniyatlar RYeJA: 1. Asosiy trigonometrik ayniyatlar. 2. Bazi burchaklarning sinus, kosinus va tangenslari uchun qiymatlar. 3. Sinuslar teoremasi. 4. Kosinuslar teoremasi. 12-rasm 13-rasm 14-rasm 30° li burchakning sinusi, kosinusi va tangensini topamiz. Teng tomonli AVS uchburchak olamiz. Uning AD medianasini o'tkazamiz. U bissektrisa va balandlik bo'ladi. Shu sababli AVD uchburchak A uchidagi o'tkir burchagi 30° ga teng bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakdir. Teng tomonli uchburchakning tomoni ga teng bo'lsin. U holda VD = Pifagor teoremasiga ko'ra: Demak: 15-rasm. 3. SINUSLAR TYeORYeMASI. 1- teorema (sinuslar teoremasi), Uchburchakning tomonlari qarshisidagi burchaklarning sinuslariga proportsional. Isbot i. AVS - tomonlari a,b,s va shy tomonlari qarshisidagi burchaklari , bo'lgan uchburchak bo'lsin (1-rasm) ekanini isbotlaymiz. S uchdan CD balandlikni tushiramiz. ASD to'g'ri burchakdan burchak o'tkir bo'lgan holda topamiz: CD = b. (5-rasm). Agar o'tmas burchak bo'lsa, u holda CD =bsin(1800- )= b Shunga o'xshash BCD uchburchakdan topamiz: SD = Shunday qilib = Shunday qilib Bundan Ushbu Ushbu tenglik shunga o'xshash isbotlanadi. Masala. Snnuslar teoremasida uchta nisbatning xar biri 2R ga tenglignni isbotlang, bunda R- uchburchakka tashqi chizilgan aylananing radiusi. Yechilishi. BD diametrni o'tkazamiz (6-rasm). Aylanaga ichki chizilgan burchaklarning xossasiga bnnoan BCD to'g'ri burchakli uchburchakning D uchidagi burchagn, agar A va D nuqtalar VS to'gri chiziqdan bnr tomonda yotsa (6-a rasm), ga teng, agar bu nuqtalar VS tug'ri chiziqdan turli tomonda yotsa (6-b-rasm), (1800- ) ga teng birinchi holda ikkinchi holda bo'lgani uchun xar qanday holda ham Demak, Shuni isbotlash talab qilingan edi. 4. KOSINUSLAR TYeORYeMASI Teorema (kosinuslar teoremasi). Uchburchak istalgan tomonining kvadrati qolgan ikki gomoni kvadratlari yig'indisidan shu ikki tomon bilan ular orasidagi burchak kosinusining ikkilangan ko'paytmasini ayirish natijasiga teng. Isboti. ABC - berilgan uchburchak bo'lsin (7- rasm). VS2 =AV2 + AS2 - 2AV AC cosA ekanini isbotlaymiz. BC=AC- AB vektor tenglikka egamiz. Bu tenglikni skalyar kvadratga ko'tarib, topamiz: VS2 =AV2 + AS2 - 2AV AC yoki VS2 =AV2 + AS2 - 2AV AC cosA. Teorema isbotlandi. Shuni eslatib o'tamizki, AS cosA ning absolyut qiymati AS tomonning AV tomonga tushirilgan AD proyeksiyasiga (7-a rasm) yoki AB tomonning davomiga tushirilgan proyeksiyasiga teng (7-6 racm). AS cosA ning ishorasi A buruakka bog'lik: 3-b rasm. ...