Yuqori tartibli hosilalarga bog'liq funksionallar. Ko'p funksiyali holda Eyler tenglamasi

Yuqori tartibli hosilalarga bog'liq funksionallar. Ko'p funksiyali holda Eyler tenglamasi Reja: Yuqori tartibli hosilalarga bog'liq funksionallar. Ko'p funksiyali holda Eyler tenglamasi Ko'p o'zgaruvchili funksiyaga bog'liq funksionallar. Ostrogradskiy tenglamasi O'zgaruvchan chegarali masalalar. Bolts masalasi funksiyaning yuqori tartibli hosilalariga bog'liq bo'lgan (7) funksionalning ekstremumini topish masalasini o'rganamiz, bu yerda funksiya barcha argumentlar bo'yicha tartibligacha bo'lgan (-tartiblisi ham kiradi) uzluksiz xususiy hosilalarga ega, . Bu masalada chegaraviy shartlar quyidagicha Teorema 2. (7) funksional funksiyada lokal ekstremumga erishishi uchun bu funksiya ushbu Eyler-Puasson tenglamasini qanoatlantirishi zarur. Variatsion hisobning eng sodda masalasidagi kabi (9) tenglamaning (8) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlari (7) funksionalning ekstremallari) shu funkts ionalning to'plamda mumkin bo'lgan absolyut ekstremumlaridir. Misol 6. Ushbu funksionalning chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi ekstremallarini toping. yechish. Eyler-Puasson tenglamasini yozamiz: Uning umumiy yechimi ko'rinishda bo'ladi. Chegaraviy shartlar yordamida o'zgarmaslarni aniqlaymiz: bundan . Shuning uchun funksional chiziqda ekstremumga erishishi mumkin. Ko'p funksiyali holda Eyler tenglamasi. Variatsion hisob eng sodda masalasining yana bir umumlashmasi bir necha funksiyali funksionalning ekstremumi haqidagi masaladir: , (10) bu yerda barcha argumentlari bo'yicha ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo'lgan funksiya va Bu masalada chegaraviy shartlar (9) ko'rinishda bo'ladi. Bu hol uchun 1-teorema quyidagicha yoziladi. Teorema 3. funksiyalar jamlamasi (10) funksionalga kuchsiz ekstremum berishi uchun bu funksiyalar Eylerning (12) differensial tenglamalar sistemasini qanoatlantirishi zarur. Misol 7. funksionalning shartlarni qanoatlantiruvchi ekstremallarini toping. yechish. Eyler tenglamalar sistemasi ko'rinishda bo'ladi. Ikkinchi tenglamadan deb olib, tenglamani olamiz. Umumiy yechim Bundan Chegaraviy shartlardan ekanligi kelib chiqadi va, demak, ko'rinishdagi funksiyalar ekstremallar bo'ladi. Ko'p o'zgaruvchili funksiyaga bog'liq funksionallar. Ostrogradskiy tenglamasi. Ushbu (13) funksionalni ekstremumga tekshiramiz, bu yerda D sohaning C chegarasida funksiyaning qiymatlari berilgan. Yozuvni qisqartirish maqsadida belgilash kiritamiz. funksiyani uch marta, funksiyani esa ikki marta differensionallanuvchi deb faraz qilamiz. Teorema 4. Agar (13) funksional sirt ustida ekstremumga erishsa, u holda funksiya (14) tenglamani qanoatlantiradi. Bu ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama bo'lib, u Ostrogradskiy tenglamasi deyiladi. Misol 8. Ushbu (15) funksionalni ekstremumga tekshiring. D sohaning C chegarasida funksiyaning qiymatlari berilgan: . Bu holda Ostrogradskiy tenglamasi ko'rinishda yoki qisqaroq ko'rinishda bo'ladi, yani bu mashhur Laplas tenglamasidir. Demak, Laplas tenglamasining sohada uzluksiz bo'lgan hamda sohaning chegarasida berilgan qiymatlarni qabul qiladigan yechimini topish kerak. Bu - matematik fizika tenglamalari fani orqali bizga yaxshi tanish bo'lgan Dirixle masalasi-ku, axir! Misol 9. Ushbu funksionalni ekstremumga tekshiring. D sohaning S chegarasida funksiyaning qiymatlari berilgan. Bu holda Ostrogradskiy tenglamasi ko'rinishda yoki qisqaroq ko'rinishda bo'ladi. Bu matematik fizika masalalarini yechishda ko'p qo'llaniladigan Puasson tenglamasidir. Misol 10. Berilgan S kontur yordamida hosil ...