Algebra. Algebralar gomomorfizmi. Gruppa va uning asosiy xossalar

Algebra. Algebralar gomomorfizmi. Gruppa va uning asosiy xossalari Reja: Gruppa tushunchasi. Gruppaga ta'rif; Yarim gruppa; Monoid; Gruppaning sodda xossalari. To'plamlar nazaryasiga ko'ra algebra tushinchasi. Algebraning turi haqida tushincha. Bir xil turli algebralar. Algebralar gomomorfizmi. A to'plamning o'zida bir nechta algebraic amallar mavjud bo'lishini ko'rib o'tdik. Shu amallar f1, f2,….fs bo'lsin. Ta'rif: Bo'sh bo'lmagan A to'plam va unda qaralayotgan algebraik amallar to'plami dan tuzilgan tartiblangan juftlik algebra deyiladi va uni A1 belgilaymiz. Ta'rifga ko'ra A1= bo'ladi. Bunda A to'plamning elementi, A to'plam A1 algebraning asosiy to'plami, dagi operatsiyalar a1 algebraning asosiy operatsiyalari deyiladi. A to'plamda qaralayotgan amallar soni chekli bo'lganda bu algebra A1= ko'rinishda belgilanib, uni uzunligi s+1 ga teng bo'lgan kortej ham deyiladi. f algebra amalning rangi odatda r(f) orqali belgilanadi. Ta'rif: Agar r(fi)=ri, (i=1, 2, , s) bo'lsa (r1, r2,…,rs) kortej A1= algebraning turi (tipi) deyiladi. Ta'rif: A va A′ to'plamda aniqlangan algebraik amallar soni teng bo'lib, A to'plamda fi (i=1, 2, , k) algebraik amallarning rangi bilan A′ to'plamda aniqlangan va fiєF=f1, f2, , fs) amallar mos keluvchi f′iєF′=f1′, f2′, , fe′) algebraik amallarning ranglari o'zaro teng bo'lsa, u holda A1= va A1f= algebralar o'zaro bir turli algebralar deyiladi. Masalan, va algebralar bir xil turli algebralar bo'ladi (bunda R+ - musbat haqiqiy sonlar to'plami), ya'ni ikkalasi ham (2, 0) turli algebralar bo'ladi. Ta'rif: Agar A1 algebraning to'plami A chekli (cheksiz) bo'lsa, u holda A1 algebra chekli (cheksiz) algebra deyiladi. Endi turli algebralarning gomomorfligi haqida tushuncha bilan tanishaylik. Ta'rif: Bir xil turli A1= va A1′= algebralar berilgan bo'lib, A to'plamni A′ to'plamga bir qiymatli akslantiruvchi shunday φ(fi(a1, a2, , an))= fi′(φ(a1), φ(a2), , φ(an)) tenglik A to'plamning barcha elementlari uchun bajarilsa, u holda A1 algebra A1′ algebraga gomomorf akslangan deyiladi va uni ko'rinishda belgilanadi. Ta'rif: Agar A1 algebraning A1′ algebraga φ gomomorf akslanishi biyektiv (o'zaro bir qiymatli) akslantirish bo'lsa, u holda A1 algebra A1′ algebraga izomorf deyiladi va uni ko'rinishda belgilanadi. Bitta binar 0 va bitta unar * algebraik amallarga ega bo'lgan bo'sh bo'lmagan G to'plam berilgan bo'lsin. Bu operatsiyalardan foydalanib, matematikada algebraning xususiy hollaridan biri bo'lgan gruppa tushunchasini o'rganamiz. Ta'rif: Agar G to'plamda quyidagi aksiomalar bajarilsa, u holda (2, 1) turli algebra gruppa deyiladi: Binar 0 operatsiya G to'plamda gruppa hosil qiluvchi asosiy operatsiya deb hisoblanadi. Ta'rif: Agar algebra gruppasi bo'lib, 0 operatsiyasi kommutativ, ya'ni () uchun aob=boa tenglik ...