Algebraik aniqlik darajasi eng yuqori bo'lgan formulalar

Algebraik aniqlik darajasi eng yuqori bo'lgan formulalar REJA: 1. Gauss tipidagi kvadratur formulalar. 2. Gauss tipidagi kvadratur formula koeffisiyentlarining xossasi. 3. Gauss tipidagi kvadratur formulalarning qoldiq hadi 4. Gauss tipidagi kvadratur formulalarning yakinlashishi. 1. Gauss tipidagi kvadratur formulalar. Oldingi paragrafda n nuqtali interpolyatsion formula (3.1) ning tugun nuqtalari [a, b] oraliqda qanday joylashanliklari dan qat'iy nazar, (n-1) - darajali kop'hadlarni aniq integrallashligini ko'rgan edik. Chekli [a, b] oraliq va uchun Gauss quyidagi masalani qaragan edi: x1, x2,,…,хп tugunlar shunday tanlansinki, (3.1) formula mumkin qadar darajasi eng yuqori bo'lgan ko'phadlarni aniq integrallasin. (3.1) formulada n ta parametr-tugunlarni maxsus ravishda tanlash yo'li bilan uning aniqlik darajasini n birlikka orttirishini kutish mumkin. Haqiqatan ham x1, x2,,…,хп tugunlarni maxsus ravishda tanlash orqali (3.1) formulaning darajasi 2n - 1 dan ortmaydigan barcha f(x) ko'phadlar uchun aniq bo'lishiga erishish mumkinligini Gauss ko'rsatdi. Keyinchalik Gaussning natijasi ixtiyoriy oraliq va vazn funksiyalari uchun umumlashtirildi. Bunday formulalar Gauss tipidagi kvadratur formulalar deyiladi. Qulaylik uchun хk tugunlar o'rnida n(х) = (х - х1)(х - х2)(х -хn) ko'phad bilan ish ko'ramiz. Agar хk lar ma'lum bo'lsa, u holda п(х) ham ma'lum bo'ladi va aksincha. Lekin хk larni topishni п(х) ni topish bilan almashtirsak u holda biz п(х) ni ildizlari xaqiqiy, har xil va ularning [a, b] oraliqda yotishini ko'rsatishimiz shart. 1-teorema. (3.1) kvadratur formula darajasi 2n-1 dan ortmaydigan barcha ko'phadlarni aniq integrallashi uchun quyidagi shartlarning bajarilishi zarur va yetarlidir: 1) u interpolyatsion va 2) п(х)ko'phad [a, b] oraliqda (х) vazn bilan darajasi n dan kichik bo'lgan barcha Q(x) ko'phadlarga ortogonal bo'lishi kerak: (3.2) Isbot. Zaruriyligi. Faraz qilaylik, (3.1) formula darajasi 2n-1 dan ortmaydigan barcha kop'hadlarni aniq integrallasin. U holda 2-§ dagi teoremaga ko'ra u interpolyatsiondir. Endi darajasi n dan kichik bo'lgan ixtiyoriy Q(x) kop'hadni olib, f(x) = п(х) Q(x)deb olamiz. Ko'rinib turibdiki, f(x) darajasi 2n-1 dan ortmaydigan kop'had. Shuning uchun ham uni (3.1) formula aniq integrallaydi: Bu yerda, (x)= 0 (к = ) ni hisobga olsak (3.2) tenglik kelib chiqadi. Yetarliligi. Faraz qilaylik (3.1) formula interpolyatsion va n(х) ko'phad darajasi n dan kichik bo'lgan barcha ko'phadlarga (х) vazn bilan ortogonal bo'lsin. Endi (3.1) formula darajasi 2n-1 dan ortmaydigan barcha f(x) ko'phadlarni aniq integrallashini ko'rsatamiz. Haqiqatan ham f(x) ni n(х) ga bo'lib, f(x)= n(x)Q(x) + r(x) (3.3) ni hosil qilamiz, bu yerda Q(x) va r(x) larni darajalari n dan kichik. Bu tenglikning har ikkala tomonini (х) ga ko'paytirib, a dan b gacha integrallaymiz: p(x)f(x)dx = Teorema shartiga ko'ra o'ng tomondagi birinchi integral ...