Algebraik va transtsendent tenglamalarni taqribiy yechish usullari

Algebraik va transtsendent tenglamalarni taqribiy yechish usullari. Vatarlar usuli. Urinmalar usuli Reja: Vatarlar usuli. Urinmalar (N'yuton) usuli. Ketma - ket yaqinlashish usuli. Usullarning ishchi algoritmlari. Tayanch iboralar: Vatar, hosila, n-hosila, taqribiy yechim, urinma, egri chiziq, boshlang'ich yaqinlashish, kombinatsiya, uzluksiz, usuvchi, iteratsiya, teng kuchli. 1. VATARLAR USULI Algebraik va transtsendent tenglamalarni yechishda vatarlar usuli keng qo'llanadigan usullardan biridir. Bu usulni ikki holat uchun ko'rib chiqamiz. 1-holat. Faraz kilaylik f(x) =0 tenglamaning ildizi [a,b] kesmada ajratilgan va kesmaning chekka nuqtalarida f(a) f(b) 0; f''(x)0 (5-racm). f(x) =0-tenglamaning aniq yechimi, f(x) funksiya grafigining Ox uki bilan kesishgan nuqtasi x0. A va V nuqtalarni turri chiziq (vatar) bilan tutashtiramiz. Oliy matematikadan ma'lumki, A va V nuqtalarda (5- racm) utgan to'g'ri chiziqning tenglamasi quyidagicha yoziladi: (2.3) o'tkazilgan vatarning Ox uki bilan kesishgan nuqtasi x1 ni taqribiy yechim deb qabul kilamiz va uning koordinatasini aniqlaymiz. (2.3) tenglikda x=x1, u=0 deb hisoblab uni x1 ga nisbatan echamiz: (2.4) Izlanayotgan yechim x0 endi [x1; b] kesmaning ichida. Agar topilgan x1 yechim bizni kanoatlantirmasa yuqorida aytilgan mulohazalarni [x1; b] kesma uchun takrorlaymiz va x2 nuqtaning koordinatini aniqlaymiz: (2.5) Agar x2 ildiz ham bizni kanoatlantirmasa, ya'ni avvaldan berilgan aniqlik uchun |x2 - x1| shart bajarilmasa, xz ni hisoblaymiz: (2.6) yoki umumiy holda (2.7) ya'ni hisoblashni |xn+1 - xn| shart bajarilgunga qadar davom ettiramiz. Yuqorida keltirilgan formulalarni f(a) 0; f(b) 0; f'(x) 0; f''(x) 0 uchun ham qo'llash mumkin. 2-holat. f(x) funksiyaning birinchi va ikkinchi hosilalari turli ishorali qiymatlarga ega deb faraz kilaylik, ya'ni f'(x) f''(x) 0 yoki f(a) 0, f(b) 0, f' (x) 0, f'' (x) 0 (6-rasm). A va V nuqtalarni turri chiziq (vatar) bilan tutashtirib uning tenglamasini yozamiz (2.8) Bu tenglamada y = 0 va x = x1 deb qabul qilib, uni x1 ga nisbatan echsak, (2.9) Topilgan x1 ni taqribiy yechim deb olish mumkin. Agar topilgan x1 ning aniqligi bizni kanoatlantirmasa, yuqoridagi mulohazani [a, x1] kesma uchun takrorlaymiz, ya'ni x2 ni hisoblaymiz: (2.10) Agar |x2-x1| shart bajarilsa, taqribiy yechim sifatida x2 olinadi, bajarilmasa x3, x4, … lar hisoblanadi, ya'ni (2.11) hisoblash jarayoni |xn+1 - xn| bulgunga qadar davom ettiriladi. f(a) 0, f(b) 0, f'(x) 0, f''(x) ...