Aniq integrallar nazariyasining ba'zi tatbiqlari

Aniq integrallar nazariyasining ba'zi tatbiqlari haqida BITIRUV MALAKAVIY ISHI MUNDARIJA KIRISh Klassik analizda aniq integrallar (ularni Riman integrallari deb ham atashadi) nazariyasi amaliy masalalarning yechimini topishga bo'lgan ehtiyoj tufayli paydo bo'lgan. Bunday masalalar sifatida biz Leybnitsning geometrik va Nyutonning mexanik masalasini bilamiz. I bob ANIQ INTYeGRALLAR 1.1. RIMAN INTYeGRALLARINING TA'RIFI VA ULARNING XOSSALARI Klassik analizda aniq integrallar (ularni Riman integrallari deb ham atashadi) nazariyasi amaliy masalalarning yechimini topishga bo'lgan ehtiyoj tufayli paydo bo'lgan. Bunday masalalar sifatida biz Leybnitsning geometrik va Nyutonning mexanik masalasini bilamiz. Biz bu masalalarga to'xtalmasdan aniq integrallarning matematik ta'rifini keltiramiz va xossalarini batafsil o'rganamiz. Bizga biror funksiya sigmentda aniqlangan bo'lsin. Bu sigmentni ixtiyoriy ravishda bo'linishini olaylik. Bu bo'linish natijasida qaralayotgan sigment bo'lakchalarga ajraladi. Bu bo'lakchalardan nuqta olamiz va funksiyaning bu nuqtadagi qiymatini hisoblab, ushbu summani tuzib olamiz. Bu Riman yig'indisi deb ataladi. Bundan tashqari deylik. Agar bo'lganda yig'indi sigmentning bo'linishi va har bir bo'lakchalarda nuqtalarning tanlab olinishiga bog'liq bo'lmagan holda har doim yagona bitta soniga intilsa, bu sonni bu son yig'indining limiti deb ataladi. Bu holda, ta'rifga ko'ra, soni olinganda ham shunday son topiladiki, yig'indi sigmentning bo'lgan har qanday bo'linishi olinganda ham, tengsizlik bajariladi. Agar bo'lsa, uni funksiyaning dan gacha bo'lgan oraliqdagi Riman integrali deb ataladi va u kabi belgilanadi. Shunday qilib, . Riman integrali mavjud bo'lgan holda funksiya Riman manosida integrallanuvchi funksiya deb ataladi. Aniqlangan integralning Riman integrali deb nomlanishiga sabab uni dastlab B.Riman (B.Riemann) ta'riflagan. Ko'rinib turibdiki, integralning ta'rifi faqat chegaralangan funksiyalar uchun keltirilishi mumkin. Haqiqatdan ham agar funksiya sigmentda chegaralanmagan bo'lsa, bo'linish usulining ixtiyoriyligiga bo'linishlarning ko'ra hech bo'lmaganda biror qismida bu funksiya chegaralanmaganlik xossasini saqlaydi. Oqibatda yig'indi chegaralanmagan bo'ladi va uning limiti cheksiz, demak, funksiya integrallanuvchi bo'lmaydi. Shunday qilib, integrallanuvchi funksiya chegaralangandir. Shu bois, bundan keyingi mulohazalarimizda biz qaralayotgan funksiyani chegaralangan deb faraz qilamiz, yani shunday va sonlari topiladiki, , bu yerda va sonlar mos ravishda, funksiyaning aniq quyi va aniq yuqori chegaralari. Riman integralini Darbu yig'indilari deb ataluvchi yig'indilar orqali ham ta'riflash mumkin. Shartimizga ko'ra funksiya chegaralangan. U holda u har bir sigmentchalarda chegaralangan va funksiyaning bu sigmentchalardagi aniq quyi va aniq yuqori chegaralarini va deb belgilaymiz: . (1.1) Ushbu va (1.2) yig'indilarni tuzib olamiz. Bular Darbu yig'indilari deb nomlanadi. Yuqoridagi (1.1) tengsizliklarni miqdorga ko'paytirib, bo'yicha yig'sak, (1.2) belgilashlarga ko'ra tengsizliklarni hosil qilamiz. Tayinlangan bo'linish doirasida va yig'indilar o'zgarmas sonlar, esa qiymatlarning ixtiyoriyligi tufayli o'zgaruvchi miqdordir. Bu qiymatlarni shunday tanlab olish mumkinki, natijada sonni yoki ga istalgancha yaqinlashtirish mumkin. Natijada Riman yig'indisi yoki ...