Aniq integrallarni taqribiy hisoblash. To'g'ri to'rtburchak va trapetsiya usullari

Aniq integrallarni taqribiy hisoblash. To'g'ri to'rtburchak va trapetsiya usullari Reja: Masalaning qo'yilishi. Aniq integralning geometrik ma'nosi. To'g'ri to'rtburchak va trapetsiya usullari. Usullarning ishchi algoritmlari, ularning xatoliklari miqdorini baholash va uni kamaytirish yo'llari. Tayanch iboralar: boshlang'ich funksiya, elementar funksiya, integral, aniq integral, aniqmas integral, kvadratur, kvadratur formula, to'g'ri turtburchak formulasi, trapetsiya formulasi, egri chiziqli trapetsiya, egri chiziqli trapetsiya yuzi, aniq yechim, bo'linish nuqtalari. 1. MASALANING QO'YILISHI Kundalik hayotimizda uchraydigan ko'p muhandislik masalalarini yechishda aniq integrallarni hisoblashga to'g'ri keladi. Faraz kilaylik, hisoblash talab etilsin. Bu yerda f(x) - [a; b] kesmada berilgan uzluksiz funksiya. Bu integralni hisoblashda quyidagi formula (N'yuton-Leybnits formulasi) qo'llaiiladi: bu yerda F(x) - boshlang'ich funksiya. Agar boshlang'ich funksiya F(x) ni elementar funksiyalar orqali ifodalab bo'lmasa yoki integral ostidagi funksiya f(x) jadval ko'rinishida berilsa, u holda (5.1) formuladan foydalanish mumkin emas. Bu holda aniq integralni taqribiy formulalar orqali hisoblashga to'g'ri keladi. Bunday formulalarga kvadratur formulalar deyiladi. 2. ANIQ INTEGRALNING GEOMETRIK MA'NOSI Bunday formulalarni keltirib chiqarish uchun aniq integralning geometrik ma'nosini bilmoklik lozim. Agar [a; b] kesmada f(x) 0 bo'lsa, u holda ning qiymati son jihatidan y = f(x) funksiyani grafigi hamda x=a, x=b, to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan shakl (figura) ning yuziga teng (11-rasm). Agar [a;b] kesmada f(x) 0 bo'lsa, integralning qiymati yuqorida keltirilgan shaklning teskari ishora bilan olingan yuziga teng (12-racm). 11- rasm 12-rasm Shunday qilib aniq integralni hisoblash deganda biror shaklning yuzini hisoblash tushuniladi. Quyida aniq integralni hisoblash uchun ba'zi taqribiy formulalar bilan tanishib chiqamiz. 3. TO'G'RI TURTBURCHAKLAR VA TRAPETSIYALAR FORMULASI Faraz kilaylik, bizdan aniq integralning taqribiy qiymatini topish talab etilsin. x0, x1, x2, . . . xn nuqtalar yordamida [a; b] kesmani p ta teng bo'lakchalarga bo'lamiz. Har bir bo'lakchaning uzunligi . bo'linish nuqtalari esa: x0 = a; x1 = a + h; x2 = x + 2h; x3 = a+3h … xn-1 = a+(n-1)h; xn = b Bu nuqtalarni tugun nuqtalar deb ataymiz. f(x) funksiyaning tugun nuqtalaridagi qiymatlari y0, y1, y2, … yn bo'lsin. Bular y0 = f(a); y1 = f(x1) … yn=f(b) larga teng bo'ladi . Egri chiziqli trapetsiyaning yuzini topish uchun [a,b] kesmani bo'lish natijasida hosil bo'lgan barcha turtburchaklarning yuzini hisoblab, ularni jamlash kerak bo'ladi. Albatta bu yuzachalarni hisoblashlarda ma'lum darajada xatoliklarga yo'l qo'yiladi (shtrixlangan yuzachalar). Bularni va 5.1-da aytilgan aniq integralning geometrik ma'nosini hisobga olsak, quyidagini yozishimiz mumkin bo'ladi: (5.2) Bu yerda to'g'ri turtburchak yuzini hisoblashda uning chap tomon ordinatasi olindi. Agar ung tomon ordinatami olsak ham shunday formulaga ega bo'lamiz: (5.3) (5.2) va ...