Aniq integralning mexanika masalalariga tatbiqlari

Aniq integralning mexanika masalalariga tatbiqlari Reja: Statik moment. Og'irlik markazi. Tekis egri chiziqning og'irlik markazi Tekis shaklning og'irlik markazi Inersiya momenti To'g'ri to'rtburchaklar formulalari. Aniq integralni taqribiy hisoblash Trapetsiyalar formulasi Simpson (parabolalar) formulasi Yuqorida, to'g'ri chiziqli yo'lda o'zgaruvchi kuchning bajargan ishini, o'zgaruvchi zichlikka ega bo'lgan sterjen (tayoqcha) massasini hisoblash masalalarini qarab, ularni aniq integral orqali ifodalagan edik. Ya'ni o'zgaruvchi F(x) kuchning [a;b] kesmadan iborat yo'lda bajargan ishi uchun formulani, o'zgaruvchi (x) zichlikka ega bo'lgan [a;b] kesmadan iborat sterjen massasi uchun esa (*) formulani oldik. Endi mexanikaning ba'zi bir masalalarini aniq integral yordamida yechish misollarini keltiramiz. 1. Statik moment. Og'irlik markazi. Aytaylik, n ta A1,A2,,An moddiy nuqtalarning qandaydir sistemasi berilgan bo'lib, ularning massalari mos ravishda m1,m2,, mn bo'lsin. Bu Ai(xi;yi) (i=1,2,,n) har bir nuqtadan koordinat o'qlarigach bo'lgan masofalarining uning massasiga ko'paytmasi ximi, yimi, i=1,2,,n mi massaning mos ravishda Oy va Ox o'qlariga nisbatan statik momentlari deyiladi. Agar bu moddiy nuqtalarning barchasi bitta tekislikka joylashgan bo'lsa, bu tekislikda kiritilgan Dekart koordinatalar sistemasida Ai(xi;yi) (i=1,2,,n ) bo'lib, bu sistemasining mos ravishda Ox va Oy o'qlariga nisbatan statik momentlari , (**) bo'ladi. (*) va (**) formulalardan geometrik figura va jismlarning momentlari va og'irlik markazlarini koordinatalarini topish uchun foydalanamiz. Bu moddiy nuqtalar sistemasining og'irlik markazini C(x,y) desak, mexanikadan ma'lum (28) formulalar o'rinlidir. Agar yassiy sistema Ox va Oy o'qlariga nisbatan simmetrik bo'lsa, unung statik momentlari no'lga teng bo'ladi. Agar tekis egri chiziq yoki tekis shakl qaralayotgan bo'lsa, (28) formulalar yaroqsizdir. a) Tekis egri chiziqning og'irlik markazi. Faraz qilaylik, tekis to'g'rilanuvchi AB yoy (19-rasmga qarang), o'zining x=x(t), y=y(t), t [0,T] (29) parametrik tenglamalari bilan berilgan bo'lib, parametr s sifatida A nuqtasidan boshlab hisoblangan qaralayotgan C(x;y) nuqtasigacha bo'lgan yoy bo'lagining uzunligi undan tashqari, bu nuqtadagi yoy zichligi (t) dan iborat deb qabul qilingan bo'lsin. Agar AB yoy uzunligini S bilan belgilasak, t [0;T] bo'lishi ravshandir. [0;T] kesmani (ya'ni AB yoyni) ixtiyoriy tanlangan 0=t0 t1 …. ti-1 ti … tn-1 tn = T tugun nuqtalari yordamida , n ta bo'laklarga ajratamiz va i - bo'lakdan AB yoyda , bu yerda , nuqtani olib, bu bo'lakcha birjinsli va uning zichligi ga teng hamda uning massasi nuqtada mujassamlangan deb faraz qilamiz. Bu vaqtda AB yoyni taqriban n ta massasi bo'lgan Ai moddiy nuqtalar sistemasi bilan almashtirsak, bu sistemaning og'irlik markazi uchun (28) formula asosida ni olamiz. Endi AB yoy og'irlik markazi sifatida dagi nuqtani qabul qilsak (bunday chekli limit mavjud va u oraliqni bo'lish usuliga ...