Aniq integralning tadbiqlari

Aniq integralning tadbiqlari Reja: 1. Yassi figuralarning yuzini hisoblash 2. Yoy uzunligini hisoblash 3. Aylanish jismini hajmi 4. Ko'ndalang kesim yuzi ma'lum bo'lgan jismning hajmi 1. Yassi figuralarning yuzini hisoblash Yassi figuralarning yuzini hisoblashda aniq integralni qo'llashning bir necha hollari mavjud. Bunda chegara funksiyalarining joylashuv vaziyatlari muhim ahamiyatga ega. Ba'zi hollarini ko'rib o'tamiz. 1)Agar funksiya o'qining yuqori (manfiy bo'lmagan) qismida joylashgan hamda uzluksiz bo'lib, va to'g'ri chiziq kesmalari bilan chegaralangan bo'lsa, hosil bo'lgan egri chiziqli trapesiya yuzi y yoki (1) B formula yordamida topiladi. A S 0 a b x Misol: chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini hisoblang. Yechilishi: Shartga asosan figura egri chiziq, absissalar o'qi () hamda va to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan. U holda, (1) formuladan foydalanib, quyidagi integralni hisoblaymiz: Demak, berilgan egri chiziqli trapesiyasimon figuraning yuzi 6 ga teng ekan. 2) Agar funksiya o'qining y pastki qismida joylashgan hamda uzluksiz bo'lib, va to'g'ri chiziq kesmalari 0 a b x bilan chegaralangan bo'lsa, hosil bo'lgan egri chiziqli trapesiyasimon figuraning yuzi A quyidagi formula yordamida topiladi: B yoki . (1) Misol: chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini hisoblang. Yechilishi: Berilgan masalani yechish uchun (2) formuladan foydalanib, chegaralari -1 va 1 dan iborat bo'lgan quyidagi aniq integralni hisoblaymiz: 3) uzluksiz funksiya grafigi kesmada o'qini chekli sondagi nuqtalarda kesib o'tsin. U holda, kesma funksiyaning ishorasi almashinishiga asoslanib, bir xil ishorali qismlari alohida -alohida kesmachalarga ajratiladi, ya'ni , , va . U holda izlangan yuza hosil bo'lgan y yuzachalarning algebraik yig'indisidan iborat bo'ladi. Bunda qism + + funksiyalarning ishoralari e'tiborda 0 a - c d - e b x bo'ladi. Izlanayotgan yuza quyidagi integrallarning algebraik yiqindilari yordamida topiladi: (3) Misol: va chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini y hisoblang. Yechilishi: Berilganlarga hamda chizmalarga asosan barcha lar 0 x uchun va barcha lar uchun dir. U holda, (3) formulaga asosa: 4) Agar figura kesmada ikkita uzluksiz va funksiyalar, hamda to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan bo'lsa, uning yuzi quyidagi formula yordamida hisoblanadi: (4) Bunda va dir. y Misol: va chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini toping. Yechilishi: Integrallash chegaralarini, ya'ni va ni berilgan chiziq 0 a b x tenglamalarini o'zaro tenglashtirib, topamiz: Bundan, yani U holda, (4) formulaga asosan: Demak, izlanayotgan figuraning yuzasi dan iborat ekan. Quyida ba'zi egri chiziqli figuralarning yuzalarini topish formulalarni qaraymiz. Ellipsning yuzi Ma'lumki, ellipsning tenglamasi (5) dan iborat. Ellipsni 4 ta chorakka ajratib, uning bir bo'lagi, ya'ni ni topish yetarlidir. (5) ga asosan . (6) (1) formulaga asosan Quyidagi almashtirishlar olamiz: U holda, integralning yangi ...