Aniqmas integrallarni hisoblash

Aniqmas integrallarni hisoblash REJA: I.KIRISH 1. Masalaning qo'yilishi. 2. Hisoblash xatosi va yaqinlashish. 3. Jadval ko'rinishida berilgan funksiyalarni integrallash. II.XULOSA II.ADABIYOTLAR ' 1. Agar f(x) funksiya [х0, x] oraliqda uzluksiz bo'lsa, u holda boshlang'ich funksiyani quyidagicha tasvirlash mumkin: (12.1) Demak boshlang'ich funksiyani topish integralning qiymatlarini topish bilan teng kuchlidir. Volterra integral tenglamasi da ushbu (12.2) integral bilan ish ko'rishga to'g'ri keladi. Biz faqat boshlang'ich funksiyani hisoblash bilan shug'ullanamiz. Integralning yuqori chegarasi o'zgaruvchi bo'lgani va y(x) ning ko'p nuqtalardagi qiymatlarini topishga ehtiyoj tug'ilishi tufayli aniqmas integrallarni hisoblash masalasi o'ziga xos bo'lib, ular uchun maxsus usullar yaratishga to'g'ri keladi. Faraz qilaylik, (12.1) integralning qiymatini argumentning х= х0, х,, х2, qiymatlari uchun hisoblash talab qilinsin. Aytaylik, х= х0, х,, х2, topilgan bo'lib, уп+1 ni topish kerak bo'lsin. Buning uchun у(х) ning avval topilgan mavjud qiymatlaridan foydalanish mumkin. Biz avval f(x) formula yordamida (ya'ni uning istalgan qiymatini topish mumkin bo'lgan) aniqlangan holni qaraymiz. Paragraf oxirida esa f(x) jadval bilan berilgan holni ko'rib o'tamiz. Ko'pincha f(x) ning qiymatini kerakli x nuqtalarda hisoblab, уп+1 ni istalgan aniqlikda topish mumkin bo'ladi. Bu yerda y(x) ning ko'p qiymatlarini topish lozim bo'lgani uchun f ning har bir qiymatidan y(x) ning bir necha qiymatlarini topishda foydalanish mumkin. Buni quyidagi misolda ko'rish mumkin: уп+1 ni hisoblashda (12.3) tenglikdan foydalanish mumkin. O'ng tomondagi integralni hisoblashdan aniq integral uchun qurilgan formulalarning birortasidan foydalanish mumkin. Lekin bu usul quyidagi ko'rinib turgan nuqsonga ega: f ning qiymatlari, agar ular [хп, хn+1] ning chetki nuqtalariga mos kelmasa, faqat yn+1 ni hisoblashda foydalanib, avvalgi уп, уп1, va keyingi уп+2, yn+v larni hisoblashda qatnashmaydi. Kelgusida f ning qiymatlarini hisoblashning bir necha qadamlarida ishlatishga imkon beradigan usullar haqida so'z yuritiladi. Aniqmas integralni topishda foydalaniladigan integrallash qoidasi muvaffakiyatsiz tanlangan bo'lsa, hisoblash xatolari yig'ilib bir necha qadamdan keyin keraklisidan katta bo'lib ketishi mumkin. Xuddi shu holni misolda ko'raylik. Faraz qilaylik, уп+1 ni hisoblash uchun oldingi уп-х va уп qiymatlar hamda hosilaning ikkita у'n-1 = fn-1 va у'п = f qiymatlari asosida interpolyatsiyadan foydalanaylik. Bu yerda ikkita ikki karrali tugunlarga ega bo'lganimiz uchun Ermit formulasidan foydalanishimiz mumkin va qoldiq hadni tashlab quyidagi integrallash qoidasiga ega bo'lamiz: (12.4) Bu tenglik barcha uchinchi tartibli ko'p hadlar uchun aniqdir. Bu formula bir marta qo'llashda yaxshi natija beradi, lekin ko'p marta qo'llash uchun esa xato tez ortib borishi sababli yaroqsizdir. Faraz qilaylik, f ning barcha qiymatlari va уn-1 aniq hisoblangan bo'lib, уп ni hisoblashda xatoga (masalan, yaxlitlash hisobidan) yo'l qo'yilgan bo'lsin. Birinchi ...