Ba'zi bir irratsional ifodalarni integrallash. Olinmaydigan integrallar haqida

Ba'zi bir irratsional ifodalarni integrallash 1. , - ratsional funksiya. Bunda quyidagich almashtirish qilamiz: , bu yerda -natural sonlarning eng kichik bo'linuvchisi. 1-misol. yechish. Bunda n=2, m=3 uchun va , = = == = 1) o'zgaruvchini almashtirish yordamida integralni topish restart; with(student): IR12:=changevar(x=t^6,int(sqrt(x)(x-x^(23)),x),t); IR12:=changevar(t=x^(16), (IR12, t),x); 2) Bevosita integrallash. restart; IR12:=Int(sqrt(x)(x-x^(23)),x)= int(sqrt(x)(x-x^(23)),x); 2.integralda R(x,u1,u2)-o'z argumentlarining ratsional funksiyasi a,b,k,l,m1,n1, m2,n2 lar berilgan haqiqiy sonlar bo'lib |k|+|l|0, m2, m2 Z, n1, n2 N hamda deb faraz qilamiz. Bu integralda almashtirish qilamiz, bu yerda berilgan n1,n2 natural sonlarning eng kichik karraliligidir. Almashtirishni x ga nisbatan yechib, ni olamiz. Tenglikning o'ng tomoni t ga nisbatan ratsional funksiya ekanligi ravshandir. Uni differensiallab, dx='(t)dt ni olamiz. Ratsional kasrning hosilasi ham ratsional kasr ekanligidan '(t) ham ratsional funksiyadir. Endi, almashtirishni integralga qo'yib, ni olamiz. Bu yerda r(t)=R[(t); t1, t 2] '(t) bo'lib, u ratsional funksiyadan iboratdir, chunki . 2-misol. integralni toping. yechish: restart; with(student): IR11:=changevar(x+1=t^6,int(sqrt(x+1)(1+(x+1)^(13)) ,x),t); IR11:=changevar(t=(x+1)^(16), (IR11, t),x); 3-misol. integralni toping. Bunda , = 1) o'zgaruvchini almashtirish yordamida integralni topish restart; with(student): IR13:=changevar(x=(1-t^2)(1+t^2),int(sqrt((1-x)(1+x)) (1-x)^2, x),t); IR13:=changevar(t=sqrt((1-x)(1+x)), (IR13, t),x); 2)Bevosita integrallash. restart; IR13:=Int(sqrt((1-x)(1+x))(1-x)^2,x)=int(sqrt((1-x) (1+x))(1-x)^2,x); 2. integral binomial differensial integrali deb atalib, bu yerda m,n,p lar ratsional, a va b lar esa noldan farqli haqiqiy sonlardir. P.L.Chebishev tomonidan, bu integral : 1) p- butun son (bo'lganda yoyish yordami bilan); 2)-butun son (bo'lganda almashtrish bilan, s bunda p ni maxraji); 3) - butun son (bo'lganda almashtrish bilan, s bunda p ni maxraji) bo'lgan hollardan biri sodir bo'lgandagina elementar funksiyadan iborat bo'lishi, ya'ni olinishi isbotlangandir. Boshqa holda u olinmaydigan integraldir. 4-misol. integralni toping. yechish. Bunda 2) hol bajarilishidan , , almashtrish bilan = 1) o'zgaruvchini almashtirish yordamida integralni topish restart; with(student): IR14:=changevar(x=(t^3-1)^4,int((1+x^(14))^(13)sqrt(x),x),t); IR14:=changevar(t=(1+x^(14))^(13), (IR14, t),x); 2)Bevosita integrallash. IR13:= Int((1+x^(14))^(13)sqrt(x),x)=int((1+x^(14))^(13)sqrt(x),x); 5-misol. integralni hisoblang. yechish. (butun) bo'lganligi uchun almashtirish olsak, bo'ladi. Demak, bo'lganligi uchun, restart; with(student): IT9:=Int(1(1+x^4)^(14),x)=int((1+x^4)^(-14),x); 3. , R(x;u) - o'z argumentlarining ratsional funksiyasi, a0. Bu integralni olishda trigonometrik almashtirishlardan yoki Eyler almashtirishlaridan foydalanish mumkin. Bu yerda Eyler almashtirishlarini keltiramiz. 1) Agar a0 bo'lsa, (5.1) Eylerning birinchi almashtirishini qilib, (5.2) ni olamiz. Bundan (5.3) ni (5.2) ni (5.1) ga qo'yib, (5.4) ni olamiz. (5.2), (5.3) va (5.4) larni integralga qo'yib, ga ega bo'lamiz, bu yerda r(t) funksiya (t), (t) va R(x;u) - ratsional funksiyalar bo'lganligi sababli ratsional kasrdan iborat bo'ladi. Almashtirishdagi «+» va «-» ishoralardan ixtiyoriy birini tanlash ...