Bog'liq tajribalar ketma-ketligi. Markov zanjir

Bog'liq tajribalar ketma-ketligi Markov zanjir Endi bog'langan tajribalarning eng sodda holi Markov zanjirlarini qarab chiqamiz. U birinchi marta rus matematigi A.A.Markav tomonidan o'rganilgan. Faraz qilamiz tajribalar ketma-ketligi o'tkazilayotgan bo'lsin. Har bir tajribada hodisalardan faqat va faqat bittasi ro'y berishi mumkin bo'lsin. Bu yerda -tajribaning tartib raqami. Ta'rif. Agar -tajribada bizg ma'lum hodisa ro'y berganlik shartida -tartibda hodisaning ro'y berish shartli ehtimolligi -tajribada qanday hodisa ro'y berganligigagina bog'liq bo'lib, -dan oldingi tajribalar natijasi haqidagi ma'lumotlar ta'sirida o'zgarmasa, bunday tajribalar ketma-ketligi Markov zanjiri deyiladi. 1-misol. Zarrachaning to'g'ri chiziq bo'yicha harakatini qaraymiz. Zarracha koordinatalari nuqtalar bo'yicha tasodifiy turtki natijasida harakatlanadi. Zarracha ehtimol bilan bir qadam o'ngga, ehtimol bilan bir qadam chapga harakatlanadi, agar zarracha va nuqtalarda bo'lmasa. Agar zarracha yoki da bo'lsa, bir ehtimol bilan yoki ga o'tadi. Zarrachaning bunday qonun bo'yicha harakati Markov zanjiriga misol bo'la oladi. 2-misol (Bor modeli). Vodorot atomida elektronlar ma'lum bir orbita bo'yicha aylanadi. Elektronning -orbita bo'yicha aylanishini bilan belgilasak, electron o'z orbitasini momentlarda o'zgartiradi. Biz elektronning momentda orbitadan, -orbitaga o'tish ehtimoli faqat va larga bog'liq va elektronning oldin qanday orbitada bo'lganligiga bog'liq emas deb faraz qilamiz. Elektronlarning bunday harakati ham Markov zanjiriga misol bo'ladi. Biz bundan keyin saddalik uchun -tajribada hodisa ro'y berishi shartli ehtimolligi tajriba tartib raqamiga bog'liq emas deb faraz qilamiz va bu ehtimollikni o'tish ehtimoli deb ataymiz va uni kabi belgilaymiz. Bunday Markov zanjiriga bir jinsli Markov zanjiri deyiladi. Bir jinsli Markov zanjiri uchun bir holatdan ikkinchisiga o'tishning to'la ehtimolligi tasnifi quyidagicha matritsa yordamida beriladi. . Bu matritsaga o'tish matritsasi deyiladi. Daydi zarrachaning harakat qonuni bir jinsli Markov zanjiriga misol bo'ladi. Uning o'tish matritsasini tuzamiz. O'tish ehtimollari matritsasi elementlari quyidagi shartlarni qanoatlantirishi kerak. 1˚. uning elementlar ehtimolliklar bo'lgani uchun bo'lishi kerak. 2˚. -tajribada holatda bo'lgan sistema -tajribada holatlarning biriga o'tish kerak, ya'ni (). 3˚. Biror ustuning hamma elementlari nol bo'laolmaydi, chunki masalan -ustunning hamma elementlari nol bo'lsa, bu holatga hech qachon o'tib bo'lmasligi, ya'ni holatlar soni dan kamligini bildiradi. bilan sistema -tajribada holatda bo'lib, -tajribada holatga o'tish ehtimolini belgilaymiz. Holatlar soni chekli ga teng deb olamiz. U holda qadamda o'tish matritsasi ko'rinishida bo'ladi. Quyidagi teorema o'rinli bo'ladi. Teorema (Markov teoremasi). Agar bo'lsa, u holda o'tish matritsasi uchun quyidagi o'rinli bo'ladi: (1) Bu tenglamaga ba'zan Markov tenglamasi ham deyiladi. Isboti. -sistema -tajribada holatda bo'lib, -tajribada holatga o'tish hodisasi bo'lsin. U holda (2) bo'ladi. (2) tenglamadagi qo'shiluvchilar o'zaro (juft-jufti bilan) birgalikda bo'lmaganliklari uchun qo'shish aksiomasiga asosan bo'lib, ko'paytirish teoremasiga asosan . , ekanligini hisobga olsak, element ...