Differensiallanuvchi funksiyaning uzluksizligi

Differensiallanuvchi funksiyaning uzluksizligi. Differensialning geometric va mexanik ma'nosi Reja: Differensiallanuvchi funksiya. Differensiallanuvchi bo'lishining zaruriy va yetarli sharti Funksiya differensiali, uning geometrik va fizik ma'nolari. Elementar funksiyalarning differensiallari. Differensial topish qoidalari. Differensial formasining invariantligi. 1. Differensiallanuvchi funksiya. Differensiallanuvchi bo'lishining zaruriy va yetarli sharti Faraz qilaylik y=f(x) funksiya (a,b) oraliqda aniqlangan va x0(a,b) bo'lsin. Ta'rif: Agar f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi y orttirmasini y=Ax+(x)x (1.1) ko'rinishda yozish mumkin bo'lsa, bu funksiya x=x0 nuqtada differensiallanuvchi funksiya deyiladi. Bunda A - x ga bog'liq bo'lmagan biror o'zgarmas son, (x) esa x0 da cheksiz kichik funksiya, ya'ni . y=kx+b chiziqli funksiyani qaraylik. Uning uchun y=kx tenglik o'rinli, ya'ni funksiya orttirmasi argument orttirmasiga to'g'ri proportsional. ta'rifdagi y=Ax+(x)x tenglik esa funksiya orttirmasi argument orttirmasiga «deyarli to'g'ri proportsional»ligini bildiradi, ya'ni yAx. Bu tenglik |x| qanchalik kichik bo'lsa, shunchalik aniqroq bo'ladi. Geometrik nuqtai nazardan funksiyaning x nuqtada differensiallanuvchi bo'lishi funksiya grafigi x nuqtaning yetarlicha kichik atrofida biror novyertikal to'g'ri chiziq, ya'ni biror chiziqli funksiya grafigi bilan «qo'shilib» ketishini anglatadi. Shunday qilib, geometrik nuqtai nazardan funksiyaning x nuqtada differensiallanuvchi bo'lishi funksiya grafigini x nuqtaning yetarlicha kichik atrofida «to'g'rilash» mumkinligini anglatadi. Masalan, 16-rasmda y=x2 funksiya grafigini x0=1 nuqta atrofida y=2x-1 to'g'ri chiziq grafigi bilan «qo'shilib» ketishi ko'rsatilgan. 16-rasm 17-rasm 17-rasmdan y=|x| funksiyani x=0 nuqtada differensiallanuvchi emasligi kelib chiqadi, bu funksiya grafigini x=0 nuqtaning hech bir atrofida «to'g'irlab» bo'lmaydi. Differensiallanuvchi bo'lishining zaruriy va yetarli sharti Teorema. f(x) funksiya x=x0 nuqtada differensiallanuvchi bo'lishi uchun uning shu nuqtada chekli f'(x0) hosilasi mavjud bo'lishi zarur va yetarlidir. Isboti. Zaruriyligi. Funksiya x=x0 nuqtada differensiallanuvchi bo'lsin. U holda funksiyaning orttirmasiini (1.1) ko'rinishda yozish mumkin. Undan x0 da ni yozish mumkin. Bundan x0 da , demak x nuqtada hosila mavjud va f'(x)=A ekanligi kelib chiqadi. Yetarliligi. Chekli f'(x0) hosila mavjud bo'lsin, ya'ni . U holda , bu yerda (x) x0 da cheksiz kichik funksiya. Demak, y=f'(x0)x+(x)x (1.2) yoki y=Ax+(x)x, bu yerda A=f'(x0). Shunday qilib x=x0 nuqtada f(x) funksiya differensiallanuvchi va A=f'(x0) ekan. Bu teorema bir o'zgaruvchili funksiya uchun differensiallanuvchi bo'lish hosilaning mavjud bo'lishiga teng kuchli ekanligini anglatadi. Shu sababli hosilani topish amali funksiyani differensiallash, matematik analizning hosila o'rganiladigan bo'limi differensial hisob deb ataladi. Shunday qilib, avvalgi 1-ta'rif bilan ekvivalent bo'lgan ushbu ta'rifni ham berish mumkin: Ta'rif: Agar f(x) funksiya x=x0 nuqtada chekli f'(x0) hosilaga ega bo'lsa, u holda f(x) funksiya x=x0 nuqtada differensiallanuvchi deyiladi. Funksiya differensiali, uning geometrik va fizik ma'nolari. f(x) funksiya (a;b) intervalda aniqlangan bo'lib, x(a;b) nuqtada differensiallanuvchi bo'lsin. Ya'ni funksiyaning x nuqtadagi orttirmasini (2.1) ko'rinishda yozish ...