Dirixle masalasining Grin funksiyasi

Dirixle masalasining Grin funksiyasi Reja: Garmonik funksiya integral tasviri va Grinning 2 - formulasi orasidagi bog'lanish. Grin funksiyasining ta'rifi. Grin funksiyasining xossalari. Silliq - sirt bilan chegaralangan chekli sohada berilgan , funksiya uchun, ushbu (1) integral tasvir o'rinli. Bu yerda - En dagi birlik sferaning yuzi. (1) formulada Laplas tenglamasining fundamental yechimidir: Agar D sohada garmonik, funksiya bo'lsa, u holda (1) formula, ushbu ko'rinishni oladi. Bu esa garmonik funksiyaning integral tasvirini beradi. Endi biz D soha uchun Dirixle (2) masalasini qarasak, garmonik funksiyaning chegaradagi qiymati berilgan bo'lib, funksiyaning normal bo'yicha hosilasi - chegarada berilmagan, shuning uchun formula yordamida (2) Dirixle masalasining yechimini topib bo'lmaydi. Endi formulani qulay ko'rinishda yozishga harakat qilamiz. Buning uchun sohada y - o'zgaruvchi bo'yicha garmonik bo'lgan funksiyani qaraymiz. Ushbu va funksiyalar uchun Grinning 2 - formulasini, yani qo'llaymiz. Bu yerda deb olsak, formulaga ega bo'lamiz. Endi tenglikning ikkala tarafini ga ko'paytirib (1) formula bilan hadlab qo'shamiz. (3) Bu yerda, ushbu belgilashni kiritsak, (3) formula quyidagi ko'rinishni oladi: (4) Agar biz g(x,y) funksiyani, ushbu (5) shartni qanoatlantiradigan qilib tanlasak, u holda (4) dagi - had yo'qalib ketadi, natijadan ushbu (6) formulaga ega bulamiz. ta'rif. Ushbu G(x,y) funksiya soha uchun Laplas tenglamasiga quyilgan Dirixle masalasining Grin fueksiyasi deyiladi, agar u , bunda bo'lib y - o'zgaruvchi bo'yicha D da garmonik funksiya Chegarada shartlarni qanoatlantirsa. 1-xossa. Ushbu nuqtalarda G(x,y) y - o'zgaruvchi bo'yicha D da garmonik funksiya, yani . Isbot. Garmonik funksiyalar yiђindisi yana garmonik funksiya bo'ladi, yani . 2-xossa. Grin funksiyasini qurish, ushbu Dirixle masalasini yechishga keltiriladi. 3-xossa. Agar Grin funksiyasi mavjud bo'lsa, u yagonadir. Isbot. Faraz qilaylik - soha uchun Laplas tenglamasiga qo'yilgan Dirixle masalasining ikkita va - Grin funksiyalari mavjud bo'lsin, u holda ta'rifga ko'ra bo'lib bo'ladi. Chegarada yagonalik teoremasiga asosan . 4-xossa. D sohaning Grin funksiyasi musbat . Isbot. Laplas tenglamasi fundamental yechimi ning aniqlanishiga ko'ra, nuqtaning teshik atrofida chegaralanmagan, yani u intilganda , g(x,y) funksiya esa uzluksiz va chegaralangandir. Shuning uchun sferada . Berilgan sohaning chegarasi da bo'ladi. (ta'rifga asosan). Maksimum prinsipiga asosan . Bundan esa da kelib chikadi. 5-xossa. Ushbu G(x,y) - Grin funksiyasi x, y - o'zgaruvchilarning simmetrik funksiyasidir, yani . Isbot. Bizga soha berilgan bo'lib, bo'lsin. U holda markazlari x va y nuqtalarda bo'lgan - radiusli sharlarni chizib olamiz. Bu sharlar sferalar bilan chegaralangan bo'lsin. Ushbu sohani qaraymiz. Bu sohaning chegarasi dan iborat. sohada va funksiyalar garmonik bo'ladi hamda bu funksiyalarga 2 - Grin formulasini qo'llaymiz: Bu yerda belgilab olib D ...