Elliptik turdagi tenglamalar. Chegaraviy masalalar

Elliptik turdagi tenglamalar. Chegaraviy masalalar Reja: Sodda elliptik turdagi tenglamalar. Asosiy tushunchalar va ta'riflar. Laplas tenglamasiga qo'yilgan asosiy chegaraviy masalalar. Tayanch tushunchalar: Chegaralangan soha, garmonik funksiya ,nuqtada garmonik funksiya, Dirixlening ichki masalasi, Dirixlening tashqi masalasi, Neymanning ichki masalasi, Neymanning tashqi masalasi, aralash masala. Eng sodda elliptik tipdagi tenglamalardan: 1. Laplas tenglamasi: (1) 2. Puasson tenglamasi: 3. Gelmgolts tenglamasi: Biz - p o'lchamli fazoda elliptik tipdagi tenglamalarga qo'yiladigan chegaraviy masalalarni o'rganamiz. Buning uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz: vektorlari , - skalyar ko'paytma. masofa. Markazi nuqtada radiusi r bo'lgan sfera tenglamasi. Markazi nuqtada radiusi r bo'lgan K(x,r) shar tenglamasi: soha chegaralangan deyiladi, agar R0, bo'lsa, aks holda D soha chegaralanmagan bo'lib, cheksiz uzoqlashgan nuqtani saklaydi. Bir bog'lamli yopiq sirt fazoni ikkita sohaga: - ichki, tashqi sohalarga ajratadi. Bu yerda cheksiz uzoqlashgan nuqtani saqlaydi. Agar qaralayotgan sohaning chegarasi, yani bo'lsa, u holda nuqtada o'tkazilgan tashqi normal vektor deb D sohadan chiquvchi yo'naltiruvchi kosinusga ega bo'lgan birlik vektorni tushunamiz. ta'rif 1. Laplas tenglamasini qanoatlantiruvchi funksiyaga D - sohada garmonik funksiya deyiladi. ta'rif 2. Agar funksiya fazo chekli nuqtasining etarli kichik atrofida garmonik bo'lsa, uni shu nuqtada garmonik deyiladi. Agar funksiya cheksiz D sohaning koordinata boshidan chekli masofada yotgan ihtiyoriy x nuqtasida garmonik bo'lib, etarli katta lar uchun tengsizlik bajarilsa, funksiya cheksiz D sohada garmonik deyiladi. Endi Laplas tenglamasi uchun asosiy chegaraviy masalalarning qo'yilishi bilan tanishamiz: 1) Birinchi chegaraviy masala yoki Dirixlening ichki masalasi: 2) Ikkinchi chegaraviy masala yoki Neymanning ichki masalasi: 3) Dirixlening tashqi masalasi: bo'lib, da tengsizlik bajariladi. p=2 holda da chekli limitga intiladi. Neyman tashqi masalasi: n2 bo'lganda n=2 holda 5) Aralash masala (uchinchi chegaralangan masala): . Bu yerda va f(x) lar chegarada berilgan bo'lakli uzluksiz funksiyalar bo'lib, . Xususiy hosilalarni ko'rib chiqamiz: 1) - Dirixle yoki birinchi chegaraviy masala. 2) - Neyman yoki ikkinchi chegaraviy masala. 3) - uchinchi tur chegaraviy masala. Huddi shunday chegaraviy masalalarni Puasson va Gelmgolts tenglamalari uchun ham qarash mumkin. Ushbu yoki fazoda tenglamaning yechimi cheksizlikda nurlanish prinsipini qanoatlantirishi kerak. n=3 fazoda esa, . Adabiyotlar 1.Salohitdinov M.S., Matematik fizika tenglamalari, T., «O'zbekiston», 2002. 2.Vladimirov V.S., Uravneniya matematicheskoy fiziki, M, «Nauka», 1981. 3.Tixonov A.N., Samarskiy A.A., Uravneniya matematicheskoy fiziki, M, «Nauka», 1977. ...