Eyler tenglamasining xususiy hollari

Eyler tenglamasining xususiy hollari Reja: Eyler tenglamasining xususiy hollari Yuqori tartibli hosilalarga bog'liq funksionallar. Ko'p funksiyali holda Eyler tenglamasi 1. funksiya ga bog'liq emas, yani Bu holda (4) tenglama ko'rinishga keladi. Bu chekli tenglama (yani differensial tenglama emas)dir, uning yechimi ixtiyoriy o'zgarmaslarga bog'liq emas va, demak, (3) shartlarni istisno hollardagina qanoatlantiradi. 2. funksiya faqat ga bog'liq: Eyler tenglamasi ko'rinishda bo'lib, uning umumiy yechimi esa to'g'ri chiziqlardir. Shunday qilib, bu holda funksionalning ekstremallari to'g'ri chiziqlardan iborat ekan. 3. funksiya o'zgaruvchiga bog'liq emas, yani Bu holda (4) tenglama ko'rinishda yoziladi, bundan o'z navbatida ko'rinishdagi birinchi integralni olamiz, yani birinchi tartibli differensial tenglama hosil bo'ladi, buni echib funksionalning ekstremallari topiladi. 4. funksiya o'zgaruvchiga bog'liq emas, yani . Eyler tenglamasi ko'rinishda bo'ladi. Bu tenglamaning ikkala tomonini ga kupaytirib, Eyler tenglamasini ko'rinishga keltiramiz. Bunda Quyidagi 17-32 masalalarda J(y) funksionalning tegishli chegaraviy an esa birinchi integralni topamiz. Variatsion hisobning geometrik va fizik talqini. Ko'p hollarda (2) funksional absolyut ekstremumining (5) funksiyalar to'plamida mavjud bo'lishi va uning xususiyatlari (maksimum yoki minimumligi) fizik yoki geometrik mulohazalardan ham ko'rinib turadi. Bunday hollarda 1-teoremada bayon qilingan ekstremumning zaruriy shartiga ko'ra (2) funksionalning (5) to'plamdagi absolyut minimumi yoki maksimumini topish mumkin bo'ladi. Misol 4. Tekislikda joylashgan va nuqtalarni tutashtiruvchi chiziqlar ichidan eng qisqa uzunlikka ega bo'lgan chiziqni toping. yechish. Abstsissalari a va b bo'lgan nuqtalardan o'tuvchi silliq chiziqning uzunligi ga teng. Shuning uchun bu masalani quyidagicha yozish mumkin: Shunday funksiyani topingki, bu funksiya shartlarni qanoatlantirgani holda (6) funksionalni minimizatsiyalashtirsin. Bu masalaning Eyler tenglamasi ko'rinishda bo'ladi, bundan kelib chiqadi. Funksiyaga va qiymatlarda qo'yilgan shartlardan va miqdorlarni topib, funksiyani topamiz. Shunday qilib, (6) funksional ekstremumining zaruriy sharti nuqtalarni tutashtiruvchi to'g'ri chiziqda bajarilar ekan. Geometrik mulohazalarga ko'ra, ikkita nuqtani tutashtiruvchi chiziqlar ichida minimal uzunlikka ega bo'lgani har doim mavjud, maksimal uzunlikka ega bo'lgani esa mavjud emas. Shuning uchun yuqoridagi to'g'ri chiziq o'sha izlanayotgan chiziq bo'ladi. Misol 5. Braxistoxrona haqidagi masala. Bitta vertikal to'g'ri chiziqda yotmaydigan berilgan A va V nuqtalarni tutashtiruvchi shunday chiziqni topish kerakki, A dan V ga tushayotgan moddiy nuqta shu chiziq bo'ylab A dan V ga eng qisqa vaqtda tushsin. (Taranglik va muhitning qarshiligini hisobga olmang). yechish. Koordinata boshini A nuqtaga joylashtiramiz, Ox o'qni gorizontal, Oy o'qni esa pastga vertikal yo'naltiramiz. Moddiy nuqtaning harakat tezligi ga teng, bundan nuqtaning holatdan holatga etib borishiga sarflanadigan vaqtni hisoblab topamiz: Bu funksional eng sodda hollardan biri (4-hol)ga tegishli bo'lganligi uchun, uning Eyler tenglamasi ko'rinishdagi birinchi integralga ega, yoki biz qarayotgan holda , bundan bazi ...