Fazoda Grin funksiyasi yordamida Laplas tenglamasi uchun qo'yilgan Dirixle

Fazoda Grin funksiyasi yordamida Laplas tenglamasi uchun qo'yilgan Dirixle masalasini yechishga doir misollar Reja Yarim fazo uchun Dirixle masalasi. Shar uchun Grin funksiyasi. Yarim shar uchun Grin funksiyasi. Yarim fazo uchun Dirixle masalasi Ushbu soha uchun Dirixle masalasi bo'lib shartni qanoatlantiradi. Bizga malumki bu masalaning yechimi u(x) ni Grin funksiyasi yordamida (14) topish mumkin. (13) dan foydalanib (14) ni quyidagicha yozamiz: (15) Shunday qilib biz quyidagi teoremani isbotlashimiz mumkin: Teorema. Agar funksiya tekislikda chegaralangan uzluksiz yoki uzluksiz va shart bajarilsa, u holda , , , yoki Dirixle masalasining yechimi (15) formula yordamida topiladi. Shar uchun grin funksiyasi va nuqtada sferaga nisbatan simmetrik funksiyalar bulsin. sharda yotsin, u holda . Bu simmetrik nuqtalar uchun, ushbu , (1) munasabatlar o'rinli, yani (2) Endi, biz bo'lganda simmetrik nuqtalar uchun, Ushbu (3) munasabatning bajarilishini ko'rsatamiz (3') Bundan foydalanib lar uchun Grin funksiyasini kuyidagicha tuzamiz: - holda fundamental yechim, ushbu ko'rinishda bo'ladi. Ushbu funksiya u o'zgaruvchi bo'yicha - sharda garmonik bo'ladi. Shuning uchun quyidagi funksiya shartni qanoatlantiradi. Endi (4) dan foydalanib - normal bo'yicha olingan hosilani hisoblaymiz. bundan foydalanib (4) Grin funksiyasini quyidagicha yozib olamiz: (5) bo'lsa, . u holda ko'rinishni oladi. - normal vektorning yo'nalishi radius yo'nalishi bilan bir xil, shuning uchun . a - radius - yo'naltiruvchi kosinuslar: bu yerda bundan foydalanamiz. endi, ushbu Demak, Grin funksiyaning chegaradagi qiymati nol bo'lgani uchun, yani bo'ladi. Bundan foydalanib yuqoridagi tenglikni quyidagicha yozamiz: Shunday qilib, Ushbu , -shar da , , (6) Dirixle masalasini echamiz ni Grin funksiyasidan foydalanib topamiz: (7) (7) ga Puasson formulasi deyiladi. Teorema. Agar , bo'lsa, u holda ushbu formula orqali aniqlangan funksiya - sharda garmonik, yani bo'lib, chegaraviy shartni da qanoatlantiradi, yani bo'ladi. Yarim shar uchun Grin funksiyasi , -radius. . Shar uchun ushbu tenglik malum. Endi ni ko'rsatamiz: Buning uchun Grin funksiyasi. , , ekanligini bilamiz. ekanligini ko'rsatamiz: chunki . Demak, . 1) , ; 2) , chunki -tashqi normal qarama - qarshi yo'nalgan. Adabiyotlar 1.Salohitdinov M.S., Matematik fizika tenglamalari, T., «O'zbekiston», 2002. 2.Vladimirov V.S., Uravneniya matematicheskoy fiziki, M, «Nauka», 1981. 3.Tixonov A.N., Samarskiy A.A., Uravneniya matematicheskoy fiziki, M, «Nauka», 1977. 4. ww.edu.o'z ...