Fizikaviy va texnikaviy masalalarni yechishda aniq integralni qo'llash

Fizikaviy va texnikaviy masalalarni yechishda aniq integralni qo'llash Reja: 1. Moddiy nuqtaning statik momenti va og'irlik markazi 2. Tekis egri chiziqning statik momenti va og'irlik markazi 3. Tekis figuralarning statik momenti va og'irlik markazi 4. Kuch ishini hisoblash 1. Moddiy nuqtaning statik momenti va og'irlik markazi Faraz qilaylik, koordinatalar tekisligida quyidagi moddiy nuqtalar sistemasi berilgan bo'lsin: (1) Bu nuqtalarning massalari mos ravishda (2) dan ibort bo'lsin. U holda, moddiy nuqtalarning o'qqa nisbatan statik momenti quyidagidan iborat bo'ladi: (3) yoki () o'qqa nisbatan statik momenti esa (4) yoki () Ta'rif: bo'lganda koordinatali nuqtaga moddiy nuqtalar sistemasining og'irlik markazi deyiladi. Og'irlik markazining koordinatalari () va () larga asosan quyidagi formulalar orqali topiladi: (5) (6) Misol. birlik massalari qo'yilgan va nuqtalarning og'irlik markazi uchburchak medianalarining kesishish nuqtasi bo'lishini ko'rsating. y Yechilishi. , nuqtalarni y0 L koordinatalar sistemasida tasvirlashda nuqtani koordinatalar markaziga, 0 K C x va nuqtalarning o'rtasi, ya'ni nuqtani o'qida yotadigan qilib - y0 N joylashtiramiz. U holda, nuqtaning koordinatalari , nuqtaning ordinatasi nuqtaning ordinatasi dan iborat bo'ladi. Bundan ko'rinadiki, og'irlik markazining ordinatasi quyidagidan iborat bo'ladi: . Demak, nuqta o'qida yotishi ma'lum bo'ldi. Agar massalar uchta nuqtaga emas, balki figuraning hamma joyiga tekis qo'yilgan bo'lsa, bunday figuralarning statik momentini topishda yig'indining o'rniga integraldan foydalaniladi. 2. Tekis egri chiziqning statik momenti va og'irlik markazi oraliqda uzluksiz hosilaga ega bo'lgan egri chiziqli funksiya berilgan bo'lib, u uzunlikka ega bo'lsin. Bunda egri chiziqni bir jinsli, ya'ni chiziqli zichligi o'zgarmas, soddalik uchun deb qaraymiz. egri chiziqning va o'qlarga nisbatan statik momentlarini hamda egri chiziqning y A3 B=An og'irlik markazini topamiz. Buning A2 C(xc,yc) uchun egri chiziqni A1 A=A0 yc nuqtalar orqali ta bo'lakka x ajratamiz. Bu nuqtalarga parametrning 0 xc qiymatlari mos kelsin. parametr nuqtadan boshlangan yoydan iborat. yoyning uzunligini shu yoyning massasini esa bilan belgilaymiz. U holda, bo'lganda massa quyidagicha bo'ladi: Qism yoyning uzunligini moddiy nuqta deb qarasak, u holda, uning og'irlik markazi unga mos keladigan qism yoy uzunligiga teng bo'ladi, ya'ni . Moddiy nuqtaning o'qdan , o'qdan esa masofalarda yotganligini e'tiborga olsak, quyidagi tenglamalar o'rinli bo'ladi: va bo'lganligi sababli, va U holda, egri chiziq bo'laklari yig'indisining dagi limitlari quyidagilardan iborat bo'ladi: (7) (8) (9) (5)-(9) formulalardan foydalanib, tekis egri chiziq og'irlik markazining formulalarini hosil qilamiz: (10) (11) Agar ni va ekanligini e'tiborga olsak, (10) va (11) ni soddalik uchun quyidagi ko'rinishlarda yozish ham mumkin: (12) (13) (13) formuladan: (14) hosil bo'ladi. (14)ning ikkala tomonini ga ko'paytirib, quyidagi formulaga ega bo'lamiz: (15) (15)ning chap tomoni ...