Funksiyaning qavariqligi va botiqligi. Asimptotalari

Funksiyaning qavariqligi va botiqligi. Asimptotalari. Funksiya grafigini yasash differensial hisobning tadbiqi Reja: 1. Egri chiziqning qavariqligi va botiqligi. Egri chiziqning burilish nuqtasi. 2. Asimptotalar 3. Funksiyani to'la tekshirish va grafigini yasash 1. Egri chiziqning qavariqligi va botiqligi. Egri chiziqning burilish nuqtasi. Aytaylik f(x) funksiya x=x0 nuqtada f'(x0) hosilaga ega, ya'ni funksiya grafigining M(x0,f(x0)) nuqtasidan novyertikal urinma o'tkazish mumkin bo'lsin. Ta'rif. Agar x=x0 nuqtaning shunday atrofi mavjud bo'lib, y=f(x) egri chiziqning bu atrofdagi nuqtalarga mos bo'lgan bo'lagi shu egri chiziqqa M(x0,f(x0)) nuqtasidan o'tkazilgan urinmadan pastda (yuqorida) joylashsa, u holda f(x) funksiya x=x0 nuqtada qavariq (botiq) deyiladi. Agar egri chiziq biror intervalning barcha nuqtalarida qavariq (botiq) bo'lsa, u holda bu chiziq shu intervalda qavariq (botiq) deyiladi. 33-rasmda qavariq va 34-rasmda botiq egri chiziqlar chizilgan. Egri chiziq nuqtasining ordinatasini y bilan, shu egri chiziqqa M(x0,f(x0)) nuqtasida o'tkazilgan urinmaning x ga mos ordinatasini Y bilan belgilaylik. Ravshanki, agar x0 nuqtaning biror atrofidan olingan barcha x lar uchun y-Y 0 (y-Y 0) tengsizlik o'rinli bo'lsa, u holda egri chiziq x=x0 nuqtada qavariq (botiq) bo'ladi. (35-,36-rasmlar) 1-teorema. Faraz qilaylik, f(x) funksiya X oraliqda aniqlangan va x0X nuqtada ikkinchi tartibli hosilasi mavjud bo'lsin. Agar f''(x0)0 bo'lsa, u holda funksiya grafigi x0 nuqtada botiq; agar f''(x0)0 bo'lsin. Quyidagicha yordamchi funksiya kiritamiz: F(x)=y-Y, ya'ni F(x)=f(x)-f(x0)-f'(x0)(x-x0). Ravshanki F(x0)=0, F'(x)=f'(x)-f'(x0), F''(x)=f''(x) bo'ladi. Bundan F'(x0)=f'(x0)-f'(x0)=0 va F''(x0)=f''(x0)0 ekanligi kelib chiqadi. Demak, (ekstremum mavjudligining yetarli shartiga ko'ra) x0 nuqta F(x) funksiyaning minimum nuqtasi bo'ladi, ya'ni x0 nuqtaning biror atrofida F(x)F(x0)=0 bo'ladi. F(x)=y-Y bo'lganligidan yY tengsizlik o'rinli bo'ladi. Bu esa x0 nuqtaning aytilgan atrofida funksiya grafigi urinmadan yuqorida joylashishini, ya'ni funksiya grafigi x0 nuqtada botiq bo'ladi. Teoremaning ikkinchi qismi shunga o'xshash isbotlanadi. Agar biror intervalda f''(x)0 ( f''(x)0 bo'lsa, y''0, agar x ...