Gauss tipidagi kvadratur formulaning xususiy hollari

Gauss tipidagi kvadratur formulaning xususiy hollari REJA: 1. Gauss kvadratur formulasi. 2. Meler kvadratur formulasi. 1. Gauss kvadratur formulasi. Gauss kvadrat formulasi Gauss tipidagi kvadratur formulalarning xususiy holi bo'lib, bu hol va [a, b]da oraliq cheklidir. Ixtiyoriy oraliqni chiziqli almashtirish yordamida [-1, 1] ga keltirish mumkin, shuning uchun ham integral ko'rinishga keltirilgan deb faraz qilamiz. Ma'lumki, [-1,1] oraliqda vazn bilan ortogonal bo'lgan funksiyalar sistemasini Lejandr ko'phadlari tashkil etadi. Bu ko'phadlarning ortogonal sistema tashkil etishi funksiyalarni yaqinlashishidan ravshandir. Lekin buni bevosita tekshirish ham mumkin. Ixtiyoriy k n uchun, bo'laklab integrallash yo'li bilan ushbuga ega bo'lamiz: (5.1) O'ng tomondagi birinchi had nolga teng, shuning uchun: Shunga o'xshash Bundan ko'rinadiki, ixtiyoriy к = 0,1,,п - 1 uchun Sk = 0 bo'lib, Ln(x) ortogonal sistemani tashkil etadi. Ln(x) ko'phad n(x) dan faqat doimiy ko'paytuvchi bilan farq qiladi. (5.1) formuladan: Demak, kelib chiqadi. Endi (5.2) ni hisobga olib, bo'laklab integrallash yo'li bilan (Sk ni hisoblashdagidek) ni hosil qilamiz. Ma'lumki, Demak Bizga Ln(l) va Ln(-1) ning qiymatlari kerak bo'ladi. Buni topish uchun Leybnits formulasidan foydalanamiz: Bundan esa xususiy holda ga ega bo'lamiz. Endi Gauss kvadratur formulasining tugunlari va koeffisiyentlarini aniqlashga o'tamiz.Tugunlarni topish uchun Ln (x) =0 algebraik tenglamaning barcha ildizlarini aniqlash kerak. Tugunlar aniqlangandan so'ng koeffisiyentlarni yordamida aniqlash mumkin. Lekin bu formula hisoblash uchun noqulay, shuning uchun ham boshqa yo'l tutamiz. Buning uchun (5.6) formulani shunday ko'phadga qo'llaymizki o'ng tomonda faqat birgina had holsin. Masalan, kabi olsak, bu yerda u holda chunki (5.5) ga ko'ra . Ikkinchi tomondan, (5.6)ga ko'ra chunki (5.6) dagi holgan hadlar nolga aylanadi. Quyidagi tenglikni ikki marta differensiallab, х =хк deb olsak ga ega bo'lamiz. Bu qiymatlarni (5.8) ga qo'yib, so'ngra uni (5.7) bilan taqqoslab, quyidagini topamiz: Ma'lumki, Lejandr ko'phadi Ln(x) ushbu tenglamani qanoatlantiradi. Buni bevosita tekshirib ko'rish mumkin. Bu tenglamada х - хк deb va Ln(xk) = 0 ni hisobga olsak kelib chiqadi. Bundan esa Bu ifodani (5.9) ga qo'yib, Ак uchun kerakli formulaga ega bo'lamiz: Endi Gauss formulasining qoldiq hadini aniqlaylik. Faraz qilaylik f(x) funksiya [-1,1] oraliqda 2n - tartibli uzluksiz hosilaga ega bo'lsin. U holda 3-§ dagi 3-teoremaga ko'ra Bu yerda (5.3) va (5.4) formulalarga ko'ra Shunday qilib, Gauss formulasining qoldiq hadi bo'ladi Quyida Gauss formulasining tugunlari, koeffisiyentlari va qoldiq hadlari n=1,2, 3, 4, 5, 6 uchun keltirilgan: n= 1 V.I. Krilovning [3] kitobida Gauss formulasining tugunlari va koeffisiyentlari p = 1(1)16 uchun o'n beshta o'nli rahami bilan berilgan. Ixtiyoriy [a, b] oraliq bo'yicha olingan integralni t= almashtirish ...