Interpolyatsion kvadratur formulalar

Interpolyatsion kvadratur formulalаr REJA: 1. Eng sodda kvadratur formulalar: to'g'ri to'rtburchak, trapetsiya va Simpson formulalari 2. To'g'ri to'rtburchak , trapetsiya va Simpson formulalarining qoldiq hadlari. 3.Interpolyatsion kvadratur formulalar. 4. Nyuton-Kotes kvadratur formulalari. 1. Eng sodda kvadratur formulalar: to'g'ri to'rtburchak, trapetsiya va Simpson formulalari. Eng sodda kvadratur formulalarni oddiy mulohazalar asosida qurish mumkin. Aytaylik, integralni hisoblash talab qilinsin. Agar qaralayotgan oraliqda f(x) const bo'lsa, u vaqtda (2.1) 1-rasm 2-rasm deb olishimiz mumkin (1-rasm). Bu formula to'g'ri to'rtburchaklar formulasi deyiladi. Faraz qilaylik, f(x) funksiya chiziqli funksiyaga yaqin bo'lsin, u holda tabiiy ravishda integralni balandligi (b - a) ga va asoslari f(a) va f(b) ga teng bo'lgan trapetsiya yuzi bilan almashtirish mumkin (2-rasm), u holda (2.2) deb olishimiz mumkin. Bu formula trapetsiya formulasi deyiladi. Nihoyat, f(x) funksiya [a, b] oraliqda kvadratik funksiyaga yaqin bo'lsin, u holda ni taqribiy ravishda Ox o'qi va х=а, х=b to'g'ri chiziqlar hamda у = f(x) funksiya grafigining absissalari bo'lgan nuqtalaridan o'tuvchi ikkinchi tartibli parabola orqali chegaralangan yuzа bilan almashtirish mumkin (3-rasm), u holda quyidagiga ega bo'lamiz: (23) 3-rasm 4-rasm Bu formulani ingliz matematigi Simpson 1743 yilda taklif etgan edi. Bu formulaning hosil qilinishi usulidan ko'rinib turibdiki, u barcha ikkinchi darajali Р2(х) = а0 + ахх + а2х2 ko'phadlar uchun aniq formuladir. Shunday qilib, biz uchta eng sodda kvadratur formulalarga ega bo'ldik. (2.1) formulani tuzishda u o'zgarmas son f(x)= с ni aniq integrallashini talab qilgan edik. Lekin u f(x)= а0 + ах chiziqli funksiyani ham aniq integrallaydi, chunki: balandligi (b-a) va o'rta chiziqi bo'lgan ixtiyoriy trapetsiyaning yuziga teng (4-rasm). Shunga o'xshash Simpson formulasi ham biz kutgandan ko'ra ham yaxshiroq formuladir. U uchinchi darajali Р2(х) = а0 + ахх + а2хг + а3х ko'phadlarni ham aniq integrallaydi. Haqiqatan ham, uchinchi darajali Р3(х) ko'phadni quyidagicha Р3(х) = а0 + ахх + а2х2 + а3х3 = Р2(х) + а3х3 yozamiz: u vaqtda P3(x)dx= P2(x)dx + a3 x3dx = P2(x)dx+( 4)(b4 - a4) (2.4) Lekin bizga ma'lumki, (2.5) Ikkinchi tomondan, (2.6) ayniyat o'rinlidir . Endi (2.5) - (2.6) ni (2.4) ga qo'yib, ni hosil qilamiz. Shunday qilib, biz uchta kvadratur formulani ko'rdik. Ulardan ikkitasi to'g'ri to'rtburchak va trapetsiya formulalari birinchi darajali ko'phad uchun aniq formula bo'lib, Simpson formulasi uchinchi darajali ko'phad uchun aniq formuladir. 2. To'g'ri to'rtburchak , trapetsiya va Simpson formulalarining qoldiq hadlari. Endi yuqorida qurilgan kvadratur formulalarning qoldiq hadlarini aniqlash bilan shug'ullanamiz. To'g'ri to'rtburchak formulasining qoldiq hadi R0(f) = f(x)dx-(b-a)f( ni topish uchun f(x) funksiya [a, b] oraliqda ikkinchi tartibli uzluksiz ...