Ishorali o'lchov. Radon - nikodim teoremasi

Ishorali o'lchov . Radon-nikodim teoremasi Reja: Ishorali o'lchov Radon-Nikodim teoremasi Tayanch so'zlar: o'lchov, o'lchоvli to'plam, o'lchоvli funksiya, jamlanuvchi funksiyalar, ishorali o'lchov, singulyar ishorali o'lchov Ishorali o'lchov Faraz qilaylik , biror -additiv -o'lchovga ega bo'lgan E to'plamda jamlanuvchi funksiya berilgan bo'lsin . U holda 16 - ma'ruzadagi 5-teoremaga asosan bu funksiya E to'plamning har qanday o'lchovli A qismida ham jamlanuvchi bo'ladi . Agar tayinlangan funksiya uchun quyidagi Lebegning aniqmas integrali (1) ni qarasak , Lebeg integralining -additivlik xossasiga asosan (1) tenglik bilan aniqlangan to'plam funksiyasi - additiv o'lchovning manfiy emaslik xossasidan tashqari barcha xossalariga ega bo'ladi (chunki , agar E to'plamda bo'lsa , har qanday o'lchovli to'plam uchun bo'ladi ) . Bu esa qiymatlari to'plami manfiy sonlardan iborat bo'lgan holni ham o'z ichiga oluvchi ixtiyoriy to'plam funksiyalari sinfini o'rganishga olib keladi . 1-ta'rif . Biror to'plamlar sistemasida aniqlangan to'plam funksiyasi uchun shu sistemadan olingan har qanday o'zaro kesishmaydigan soni sanoqli , to'plamlarda tenglik o'rinli bo'lsa , bunday to'plam funksiyasi - additiv to'plam funksiyasi deyiladi . 2-ta'rif. -additiv o'lchovga ega bo'lgan E to'plamning o'lchovi qism to'plamlaridan iborat sistemada aniqlangan har qanday -additiv to'plam funksiyasi ishorali o'lchov deyiladi . 3-ta'rif. Agar istalgan uchun bo'lsa , to'plam ishorali o'lchovga nisbatan manfiy (musbat) to'plam deyiladi . Manfiy va musbat to'plamlarning mavjudligi haqidagi quyidagi teoremani isbbotlaymiz . 1-teorema. Agar ishorali o'lchov Z(E) sistemada aniqlangan bo'lsa , u holda E to'plamning shunday o'lchovli qismi mavjudki , ishorali o'lchovga nisbatan to'plam manfiy , to'plam esa musbat bo'ladi Isbot . Faraz qilaylik (2) bo'lsin. Agar ishorali o'lchovga nisbatan manfiy bo'lgan o'lchovli to'plamlarning ketma- ketligi uchun (3) munosabat o'rinli bo'lsa , ushbu (4) tenglik bilan aniqlangan to'plam ishorali o'lchovga nisbatan manfiy bo'lib, bo'ladi . Haqiqatan ham , to'plamning ishorali o'lchovga nisbatan manfiy ekanligi ravshan. (2) munosabatga asosan to'plam uchun ushbu tengsizlikka ega bo'lamiz . (4) tenglikka asosan esa munosabat o'rinli . Bundan tengsizlik kelib chiqadi . Demak , bo'lib , bundan da ushbu munosabatni olamiz . Bundan tenglik kelib chiqadi . to'plam teorema shartini qanotlantiruchi to'plam ekanligini, ya'ni to'plamning ishorali o'lchovga nisbatan musbat to'plam ekanligini ko'rsatamiz . Faraz qilaylik, E to'plam ishorali o'lchovga nisbatan musbat bo'lmasin. U holda shunday to'plam mavjudki , bo'ladi. belgilash kiritamiz . to'plam ishorali o'lchovga nisbatan manfiy bo'la olmaydi . Aks holda to'plamni to'plamga qo'shib , tengsizlikka ega bo'lamiz . Bu esa sonning aniqlanishiga zid . Demak , shunday n natural son mavjudki , uning uchun to'plamning qismi bo'lgan to'plam topilib , . tengsizlik o'rinli bo'ladi ...