Kompleks o'zgaruvchili funksiyaning hosilasi

Kompleks o'zgaruvchili funksiyaning hosilasi Reja: 1. Kompleks o'zgaruvchili funksiya hosilasi ta'rifi. Koshi-Riman shartlari 2.Kompleks o'zgaruvchili funksiyalarni differensiallash qoidalari 3.Analitik funksiyalar 4.Hosila argumentining va modulining geometrik ma'nosi 5. I va II tur konform akslantirishlar 1. Kompleks o'zgaruvchili funksiya hosilasi ta'rifi. Koshi-Riman shartlari Biror kompleks sohada funksiya berilgan bo'lsin va bu sohaning biror nuqtadagi argument va funksiya orttirmalari quyidagicha bo'lsin: , Ta'rif. Agar har qanday yo'l bilan nolga intilganda nisbat faqat birgina aniq limitga intilsa, u limintning qiymati funksiyasiyaning nuqtadagi hosilasi deyiladi va u ,, kabi belgilanib, (1.1) yoki bo'igani uchunni quyidagicha yozish mumkin; (1.2) Ta'rif. Agar funksiya nuqtada hosilaga ega bo'lsa, uni bu nuqtada differensiallanuvchi yoki monogen funksiya deyiladi. Ta'rifdan ko'rinadiki, agar funksiya nuqtada hosilaga ega bo'lsa, (1.1) limit mavjud bo'lib, u nolga qaysi yo'l bilan intilishiga bog'liq emas. Demak, biz nuqtani nuqtaga o'qqa parallel yo'l bilan intiltirishimiz mumkin. Bu holda , bo'ladi (8a chizma). (1.3) Xuddi shuningdek nuqtani ga ga parallel yo'l bilan intiltirsak bo'ladi va (1.2) dan quyidagini hosil qilamiz (8b chizma): (1.4) (1.3) va (1.4) lardan ushbu tengliklarni hosil qilish mumkin: (1.5) tengliklarga Koshi-Riman shartlari deyiladi. Teorema. funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo'lishi uchun funksiyalar nuqtada differensiallanuvchi va Koshi-Riman shartlarining bajarilishi zarur va yetarlidir. 13-misol. funksiya hosilaga ega ekanligi tekshirilsin. yechish. bo'lib, bo'lgani uchun funksiya biror nuqtada ham hosilaga ega emas. 14-misol. funksiyaning hosilasini toping yechish. bo'lib, . Demak, funksiya (1;0) yoki nuqtadagina hosilaga ega. 2. Kompleks o'zgaruvchili funksiyalarni differensiallash qoidalari Biz ko'rdikki, funksiyaning nuqtadagi hosilasi (differensiali)ni topish kerak bo'lsa, quyidagi to'rtta formulaning biridan foydalanish mumkin: (2.1), (2.2), (2.3), Agar funksiyaning haqiqiy va mavhum qismlari ajralmagan holda bo'lsa, bu formulalardan foydalanish noqulay bo'ladi. funksiyaning hosilasini matematik analizdagi haqiqiy o'zgaruvchining funksiyasi hosilasi qoidasi asosida topiladi, ya'ni: 1) 2) 3) 4) 15-misol funksiyaning hosilasini toping. yechish. Demak, va Koshi-Riman sharti bajarilganligi uchun formulaga ko'ra: Javob: . 3. Analitik funksiyalar Ta'rif. Agar funksiya sohaning nuqtasida va uning atrofida ham differensiallanuvchi bo'lsa, u shu nuqtada analitik deyiladi. Ta'rif. Agar funksiya sohaning nuqtasida hosilaga ega bo'lib, uning atrofida hosilaga ega bo'lmasa, u holda funksiya nuqtada monogen deyiladi. Demak, funksiya biror nuqtada monogen bo'lishidan, uning shu nuqtada analitik bo'lishi kelib chiqmaydi. Ta'rif. Agar funksiya sohaning barcha nuqtalarida hosilaga ega bo'lsa, u funksiya da analitik deyiladi. Ta'rif. funksiya analitik bo'lgan nuqtalar uning to'g'ri nuqtasi, analitik bo'lmagan nuqtalar esa maxsus nuqtalar deyiladi. 16-misol funksiyaning analitik yoki analitik emasligini tekshirilsin. yechish , Demak, faqat (0;0) dagina hosila mavjud, boshqa nuqtada hosila yo'q, ya'ni funksiya analitik emas, monogen nuqta. 4. ...