Kompleks o'zgaruvchining funksiyasidan olingan integral

Kompleks o'zgaruvchining funksiyasidan olingan integral REJA: 1. Integralning ta'rifi va xossalari 2. Integralni hisoblash 3. Koshi teoremalari va uning integral formulalari Tayanch iboralar: Jordon chizig'i, silliq chiziq, egri chiziq, integrallash konturi, Koshi teoremalari va uning integral formulalari. 1. Integralning ta'rifi va xossalari Kompleks tekislikdagi sohada uzluksiz bir qiymatli (1.1) funksiya berilgan bo'lsin. U holda funksiya dan olingan ixtiyoriy silliq chiziqda ham bir qiymatli bo'ladi. chiziqning teglamasi bo'lib, boshlang'ich, oxirgi nuqtasi bo'lsin. dagi ning o'sishiga mos yo'nalish musbat, t ning qiymatiga mos yo'nalish manfiy yo'nalish deb qabul qilinadi ya'ni. Ta'rif. Jordon chizig'i uzluksiz o'zgaruvchi urinmaga ega bo'lsa, ya'ni mavjud va noldan farqli bo'lsa, u holda bu chiziq silliq chiziq deyiladi. Agar egri chiziq chekli sondagi silliq chiziqlardan tashkil topgan bo'lsa, uni bo'laklari silliq chiziq deyiladi. silliq , , , … , (1.2) nuqtalar orqali ixtiyoriy ta yoychalarga bo'lamiz (12-chizma) va shu yoychalardan har birini istalgan joyidan bittadan nuqta olib, bu nuqtalarni mos ravishda (1.3) deb belgilaymiz 14-chizma Ushbu yig'indini tuzamiz: (1.4) integral yig'indiga integral yig'indi deyiladi. Bunda Agar biz (1.2) nuqtalarni ketma-ket to'g'ri chiziqlar bilan tutashtirsak, egri chiziq ichiga chizilgan siniq chiziq hosil bo'ladi. Mana shu siniq chiziqlarning ya'ni vatarlarning eng kattasi nolga intilganda cheksizlikka intiladi. Ta'rif. Agar da (1.4) integral yig'indi va nuqtalar chiziqning qaysi joylaridan olinganiga bog'liq bo'lmay, aniq bir chekli limitga intilsa, shu limit funksiyadan chiziq bo'ylab olingan integral deyiladi va quyidagicha yoziladi: (1.5). chiziq integrallash yo'li yoki konturi deyiladi. Ba'zan (1.5) integralni (1.1) ga asoslanib: (1.6) ko'rinishda yozish qulay. (1.6) tenglikning o'ng tomoni haqiqiy argumentli funksiyalardan olingan egri chiziqli integrallardan iborat. Integralning asosiy xossalari 10 O'zgarmas ko'paytuvchini integral belgisi tashqarisiga chiqarish mumkin, ya'ni: (1.7) 20 Integrallash konturining yo'nalishi qarama-qarshisiga o'zgartirilsa, integral belgisi oldidagi ishora ham o'zgaradi: (1.8) 30 Chekli sondagi funksiyalar yig'indisidan olingan integral uning har bir hadidan olingan integrallar yig'indisiga teng: (1.9) 40 Agar uzlukli bilan chiziqning hamma nuqtalarida son uchun bo'lsa, u holda (1.10) bo'ladi. Bu xossa integralni baholash teoremasi ham deyiladi. 50 (1.11), bunda egri chiziq yoylaridan tuzulgan bo'lib, ning oxirgi nuqtasi ning uchi bilan ustma-ust tushgan 60 (1.12). Boshlang'ich funksiya va aniqmas integral Faraz qilaylik, funksiya sohada aniqlangan bo'lsin. Ta'rif. Agar sohaning barcha nuqtalarida tenglik o'rinli bo'lsa, funksiya funksiyaning boshlang'ich funksiyasi deyiladi. Agar sohada funksiya funksiyaning boshlang'ich funksiyasi bo'lsa, (-ixtiyoriy o'zgarmas kompleks son) ham funksiyaning boshlang'ich funksiyasi bo'ladi. Haqiqatdan ham, (1.13). Berilgan funksiyaning hamma boshlang'ich funksiyalari aniqmas integral deyilib, ushbu simvol bilan belgilanadi. Demak, (1.14) 2. Integralni hisoblash Bizga ma'lumki, egri chiziqli integralni ...