Kuchsiz maxsuslikga ega bo'lgan integral tenglamalar

Kuchsiz maxsuslikka ega bo'lgan integral tenglamalar Reja: 1. Iterasiyalangan yadroli integral tenglamalar. 2. Fredgol'mning ikkinchi tur integral tenglamalar sistemasi. 3. Kuchsiz yadroli integral tenglamalar. 4. Vol'terraning birinchi tur integral tenglamasi. 1. Iterasiyalangan yadroli integral tenglamalar. Endi tenglamani ko'rinishda yozib olib, buning har ikki qismini ga ko'paytiramiz va bo'yicha dan gacha integrallaymiz. U holda tenglikni e'tiborga olib, tenglamani hosil qilamiz, bunda Bu jarayonni davom ettirib, quyidagi tenglamaga ega bo'lamiz: (1) bunda Shunday qilib, biz ushbu natijaga keldik: agar yadroning xos soni, esa bu xos songa mos xos funksiyasi bo'lsa, u holda va itarasiyalangan yadroning xos soni va xos funksiyasidan iborat bo'ladi. Bunga teskari teorema ham o'rinlidir. 2. Fredgol'mning ikkinchi tur integral tenglamalar sistemasi (2) ko'rinishga ega bo'ladi, yadrolar kvadratda, ozod hadlar oraliqda kvadrat bilan jamlanuvchi funksiyalar bo'lsin. Tabiiy, noma'lum funksiyalar ham shu sinifda izlanadi. (2) sistema uchun yuqorida bitta Fredgol'm tenglamasi uchun bayon qilingan nazariya to'laligicha o'rinli bo'ladi. Masalan, parametr tengsizlikni qanoatlantirsa (2) sistema uchun ketma-ket yaqinlashish bu sistemaning yechimiga o'rtacha yaqinlashadi. (2) sistemaga qo'shma bo'lgan sistema quyidagicha yoziladi: . Fredgol'mning barcha teoremalari ham (2) sistema uchun o'rinli bo'ladi. Biz Fredgol'm nazariyasini (2) sistema uchun asoslanishiga to'xtamasdan, bunday sistemani Fredgol'm tipidagi bitta tenglamaga keltirish mumkinligini ko'rsatib o'tamiz. argument uzunligi oraliqdan marta katta bo'lgan oraliqda o'zgarsin. Bu oraliqda va funksiyalarni quyidagicha aniqlaymiz. Agar bo'lsa Xuddi shunga o'xshash, yadroni kvadratda bo'lganda deb aniqlab olsak. Ushbu tenglikni e'tiborga olsak,(2) sistema Fredgol'mning bitta tenglama ko'rinishda yoziladi. 3. Kuchsiz yadroli integral tenglamalar. (3) ko'rinishga ega bo'lsa, bunda o'z argumentlarining uzluksiz (yoki chegaralangan) funksiyasi. Bu usuldan ayrim maxsusliklarini yo'qotishda foydalanish mumkin, chunki iterasiyalangan yadrolar, umuman aytganda, boshlang'ich yadroga nisbatan siliqroq bo'ladi Agar (3) tipdagi yadro berilgan bo'lsa, iterasiyalangan yadro ham (3) ko'rinishda bo'ladi, faqat son o'rniga son bo'ladi. Haqiqatan ham, iterasiyalangan yadro uchun tenglikka ega bo'lamiz. Bu ifodani ko'rinishda yozib olamiz. Bu integrallarda mos ravishda almashtirishlarni bajarsak, bu integrallarda har bir , bunda uzluksiz funksiya, ko'rinishdagi funksiya ekanligi kelib chiqadi. Bundan darhol ga ega bo'lamiz uzluksiz funksiya. Matematik induksiya usuli bilan iterasiyalangan yadro uchun tenglikni to'g'ri deb hisoblasak, yuqoridagi mulohazalarni qaytarish natijasida tenglik o'rinli bo'lishiga ishonch hosil qilamiz. Etarli katta uchun son manfiy bo'ladi, u holda bunday uchun yadro uzluksiz bo'ladi. Shunday qilib, kuchsiz maxsuslikka ega bo'lgan integral tenglamalar uchun ham Fredgol'mning hamma teoremalari o'z kuchini saqlab qoladi. 4. Vol'terraning birinchi tur integral tenglamasi. Vol'terraning birinchi tur (4) integral tenglamasini tekshiramiz Faraz qilaylik, (4) tenglamaning yadrosi va ozod hadi quyidagi shartlarni qanoatlantirsin: 1) lar mavjud uzluksiz funksiyalar, ...