Kvadratur formulalarning aniqligini orttirish

Kvadratur formulalarning aniqligini orttirish Reja: Bernulli sonlari va ko'phadlari Ixtiyoriy funksiyalarni Bernulli ko'phadlari orqali tasvirlash Eyler-Makloren formulasi 1. Bernulli sonlari va ko'phadlari. Bu sonlar va ko'phadlarni ularni hosil qiluvchi funksiyalar yordamida aniqlaymiz. Buning uchun funksiyalarni kiritamiz. Bu funksiyalar doirada regulyar bo'lganligi uchun ularni shу doirada darajali qatorga yoyish mumkin: Birinchi tenglik bilan aniqlangan Вп miqdorlar Bernulli sonlari deyiladi. Bu sonlarni aniqlaydigan rekurrent tengliklarni qurish mumkin. Buning uchun (8.2) ning har ikkala tomonini ga ko'paytiramiz: Bu tenglikda t, t2, t3 hadlar oldidagi koeffisiyentlarni taqqoslab, Yoki (8.4) rekurrent munosabatlarni hosil qilamiz. B1dan boshqa barcha toq indeksli Bernulli sonlarining nolga teng ekanliklarini ko'rsatish mumkin. Buning uchun (8.2) tenglikda t ni -t ga almashtiramiz: Lekin demak, Bundan esa п 1 bo'lganda tenglikka ega bo'lamiz va п = 2k+1 uchun kelib chiqadi. Quyida Bernulli sonlarining dastlabki bir nechtasining qiymatlari keltirilgan: Endi Вп(х) Bernulli kupxadlarini aniqlaydigan rekurrent munosabatlarni tuzaylik. Buning uchun (8.3) tenglikda еxt va funksiyalarni ularning darajali qatorlardagi yoyilmalari bilan almashtiramiz: Bu yerda tn oldidagi koeffisiyentlarni taqqoslab, yoki (8.5) ni hosil qilamiz. Bernulli ko'phadlaridan dastlabki bir nechtasini keltiramiz: (8.6) Endi Bernulli ko'phadlarining ayrim xossalari bilan tanishaylik. Avvalo (8.5) dan (8.7) kelib chiqadi. (8.3) tenglikning har ikki tomonini x bo'yicha differensiallab, ni hosil qilamiz. Bu tenglikning chap tomoni t g (t,x) ga teng bo'lgani uchun Bunda oldidagi koeffisiyentlarni tenglashtirib, Bernulli ko'phadlarini differensiallash qoidasiga ega bo'lamiz: В'п(х)=пВn-1(х) (n=1,2,.) (8.8) Bundan va (8.7) dan integrallash qoidasini chiqaramiz: Вп(х) = Вп + n (8.9) Endi (8.10) ekanligini ko'rsatamiz. Buning uchun quyidagi almashtirishlarni bajarib g(t,1-x)=g(-t,x) ni hosil qilamiz. Bu munosabatga g ning (8.3) dagi yoyilmasini keltirib qo'ysak, tenglik kelib chiqadi, bunda esa (8.10) ni hosil qilamiz. Endi Bernulli ko'phadlaridan faqat ozod had bilan farq qiladigan quyidagi funksiyalarni kiritamiz: (8.11) Bu funksiyalar, 1 (х) dan tashqari, x = 0 va x = 1 nuqtalarda nolga aylanadi. Haqiqatan ham, (8.7) ga ko'ra n(0) = 0, (8.11) tenglikka ko'ra esa chunki juft p lar uchun kvadrat qavs ichidagi ifoda nolga teng bo'lib, toq n 1 lar uchun Вп Bernulli sonlari nolga teng. Quyidagi teorema o'rinlidir. 1-teorema. ko'phadlar (0,1) oraliqda doimiy, chunonchi ishoraga ega; 3(x), 5(х), 7(х), ko'phadlar x = nuqtada nolga aylanadi, shu bilan birga (0, 12) va (12, 1) oraliqlarda 2k+1(х) mos ravishda (- 1)k-1 va (-1)k ishoralarga ega. Isbot. Avvalo (8.10) ga ko'ra Shunday qilib, 2k+1(x) (k= 1,2,) ko'phadlar 0, 12, 1 nuqtalarda nolga aylanadi. Endi (0,1) oraliqda 2k+1(x) ning boshqa nollarga ega emasligini ko'rsatamiz. Buning uchun 2k+1(x) ko'phad ...