Laplas tenglamasining fundamental yechimi

Laplas tenglamasining fundamental yechimi Reja: Tekislikda Laplas tenglamasining fundamental yechimi. Uch o'lchovli fazoda fundamental yechim. Umumiy holda, yani p - o'lchovli fazoda fundamental yechim. Tayanch tushunchalar Laplas tenglamasining fundamental yechimi, tekislikda fundamental yechimning ko'rinishi, fazoda fundamental yechimning ko'rinishi, n o'lchovli fazoda fundamental yechimning ko'rinishi ta'rif. Laplas tenglamasining faqat bitta geometrik o'zgaruvchiga bog'lik yechimiga, uning fundamental yechimi deyiladi yoki elementar yechimi deyiladi. Dastavval n=2 holni o'rganamiz. Bu holda qutb koordinatalarida . Laplas tenglamasining ko'rinishini topamiz: Buni topishdan oldin quyidagi bitta teorema va ikkita natijani keltirib o'tamiz (isbotsiz). Teorema. Agar dan quyidagi almashtirishni bajarsak, u holda Laplas operatori quyidagi ko'rinishda bo'ladi. bu yerda, Natija-1 (Sferik koordinatalar sistemasi) bo'lsa, Natija - 2 (silindrik koordinatalar sistemasi) Keltirilgan teorema va natijalardan quyidagiga ega bo'lamiz; . Fundamental yechimning ta'rifiga asosan bo'lgani uchun . Bundan foydalanib Agar bo'lsa, Demak, n=2 holda fundamental yechim ushbu ko'rinishda bo'ladi. n=3 holda, biz Laplas tenglamasining sferik koordinatalardagi ko'rinishini topamiz: . Fundamental yechimning ta'rifiga binoan bo'lgani uchun. bo'lib, Laplas tenglamasi ko'rinishini oladi. Bu tenglamani echib topamiz. deb tanlasak , yani . Shunday qilib n=3 holda Laplas tenglamasining fundamental yechimi ; ko'rinishda bo'lar ekan. Endi Laplas tenglamasining fundamental yechimini umumiy holda da topamiz: Ushbu Laplas tenglamasini , , , , bu yerda faqat r ga bog'liq yechimini topamiz. Buning uchun . Shunday qilib, ushbu tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani echamiz. , , yani fundamental yechim, ; ko'rinishda bo'ladi. Topilgan elementar yechimlarning ko'rinishidan malumki larda fundamental yechim fazoda garmonik bo'lib har bir fiksirlangan x da y - bo'yicha ham Laplas tenglamasini qanoatlantiradi, yani fazoda fundamental yechim cheksizlikda logarifmik maxsuslikka ega bo'ladi. - fundamental yechim da fazoda garmonik funksiya bo'ladi. Adabiyotlar 1.Salohitdinov M.S., Matematik fizika tenglamalari, T., «O'zbekiston», 2002. 2.Vladimirov V.S., Uravneniya matematicheskoy fiziki, M, «Nauka», 1981. 3.Tixonov A.N., Samarskiy A.A., Uravneniya matematicheskoy fiziki, M, «Nauka», 1977. ...