Lebeg integrali ostida limitga o'tish

Lebeg integrali ostida limitga o'tish Reja: Jamlanuvchi funksiyalar. Jamlanuvchi funksiyalar ustida amallar. O'lchov bo'yicha yaqinlashish Tayanch so'zlar: funksiyalar ketma-ketligi, o'lchоvli to'plam, chegaralangan funksiya, funksiya, deyarli yaqinlashish, o'lchov bo'yicha yaqinlashish O'lchovli to'plamda aniqlangan o'lchovli va chegaralangan funksiyalarning ketma-ketligi berilgan bo'lib , bu ketma-ketlik o'lchovli funksiyaga to'plamning har bir nuqtasida yo deyarli yoki o'lchov bo'yicha yaqinlashuvchi bo'lsin. U holda (1) munosabat doimo o'rinlimi, degan savol tug'iladi. Bu munosabatning , umuman aytganda , doimo o'rinli emasligini quyidagi misoldan ko'rish mumkin. Masalan , funksiya [0,1] segmentda quyidagicha aniqlangan bo'lsin: U holda har qanday uchun ushbu tenglik o'rinlidir, lekin ya'ni (1) munosabat bajarilmas ekan. Endi, funksiyalar ketma ketligi qanday shartlarni qanotlantirganda (1) munosabat o'rinli bo'ladi, degan savol tug'iladi. Bu savolga A.Lebegning quyidagi teoremasi javob beradi. 1-Teorema (A.Lebeg). O'lchovli E to'plamda o'lchovli va chegaralangan funksiyalar ketma-ketligi berilgan bo'lib , bu ketma-ketlik o'lchovli funksiyaga o'lchov bo'yicha yaqinlashuvchi bo'lsin. Agar E to'plamning barcha elementlari uchun va har qanday n natural son uchun ushbu tengsizlikni qanoatlantiradigan K son mavjud bo'lsa, u holda bunday funksiyalar ketma-ketligi uchun (1) munosabat o'rinli. Isbot. Dastlab E to'plamda ushbu (2) tengsizlikning deyarli bajarilishini ko'rsatamiz. Darhaqiqat, ketma-ketlikdan Riss teoremasiga asosan shunday qism ketma-ketlik ajratib olish mumkinki, u funksiyaga deyarli yaqinlashadi. Endi tengsizlikda limitga o'tilsa, (2) munosabat kelib chiqadi. Ihtiyoriy son uchun to'plamlarni tuzamiz. U holda (3) to'plamda tengsizlik deyarli bajarilganligi uchun ushbu (4) munosabat o'rinli. Ikkinchi tomondan o'rta qiymat asosidagi teoremaga asosan (3), (4) va ohirgi munosabatlardan (5) Ihtiyoriy kichik son uchun sonni (6) tengsizlikni qanoatlantiradigan qilib olamiz. Teoremaning shartiga muvofiq, har qanday uchun da Demak, shunday mavjudki, ushbu (7) munosabat o'rinli. Endi (5) tengsizlikdan (6), (7) larga muvofiq quyidagi tengsizlikni olamiz: Bu munosabat esa teoremani isbotlaydi. Izoh. Agar teoremaning shartida ketma-ketlik ga deyarli yaqinlashsa va tengsizlik E to'plamda deyarli bajarilsa u holda teorema o'z kuchini saqlaydi. Iхtiyoriy funksiyaning Lеbеg intеgrali. Jamlanuvchi funksiyalar O'lchovli funksiya to'plamda aniqlangan bo'lsin. Avval ni to'plamda manfiy emas, ya'ni deb faraz qilamiz va ushbu funksiyani tuzamiz. Bu funksiya to'plamda chegaralangan va demak uning Lebeg integrali mavjud. 1-ta'rif. Agar mavjud bo'lsa, bu limit funksiyaning to'plamdagi Lebeg integrali deyiladi va u orqali belgilanadi. to'plamda o'lchovli va musbat funksiya Lebeg integraliga ega bo'lishi uchun integrallarning chegaralangan bo'lishi zarur va kifoyadir, chunki tengsizlik ning hamma qiymatlari uchun bajariladi. Manfiy funksiyalarning Lebeg integrali ham xuddi shunga o'xshash aniqlanadi. Endi umumiy holni, ya'ni o'lchovli funksiya to'plamda har xil ishorali qiymatlarni qabul qiladigan holni ko'ramiz. Bu holda to'plamni quyidagicha ikki o'zaro kesishmaydigan va qismlarga ajratamiz: ya'ni ning ...