Lebeg integrali. O'zgarishi chegaralangan funksiyalar

Reja: Lebeg integrali Aytaylik, funksiya kesmada chegaralangan bo'lib, bo'lsin. kesmani quyidagicha n ta bo'lakka bo'lamiz: Endi quyidagicha yig'indilar tuzamiz: (1) bunda va - kesmadagi Lebeg o'lchovi. (1) yig'indilar mos ravishda Lebeg integralining quyi va yuqori yig'indilari deyiladi. bo'lsin. Agar va limitlar mavjud va teng bo'lsa, u holda funksiya kesmada Lebeg manosida integrallanuvchi deyiladi, bu limit esa funksiyani kesmadagi integrali deyiladi va kabi belgilanadi. Endi Lebeg integralining bazi xossalarini keltiramiz. 10. Agar funksiya kesmada Riman manosida integrallanuvchi bo'lsa, u Lebeg manosida ham integrallanuvchi bo'ladi. 20. Agar ixtiyoriy uchun bo'lsa, u holda bo'ladi. 30. Agar funksiya da integrallanuvchi bo'lsa, u holda uchun tenglik o'rinli bo'ladi. 40. Agar va funksiyalar da integrallanuvchi bo'lsa, u holda tenglik o'rinli bo'ladi. 50. Agar integrallanuvchi , funksiyalar uchun bo'lsa, u holda tengsizlik o'rinli bo'ladi. 60. da integrallanuvchi funksiya uchun tengsizlik o'rinli bo'ladi. 70. Agar funksiya da integrallanuvchi bo'lsa, u holda funksiya xam da integrallanuvchi bo'ladi. Lebeg integralining ta'rifini, chekli va cheksiz o'lchovli to'plamlar bo'yicha ixtiyoriy o'lchovli funksiyaning Lebeg integrali ta'rifini, Lebeg va Riman integralini solishtirishni, Lebeg, Levi, Fatu teoremalarini hamda Lebeg integralining qolgan xossalarini [1], [2] -adabiyotlardan o'rganishni talabalarga tavsiya qilamiz. 1-misol. Quyidagi sodda funksiyaning integrallanuvchiligini ko'rsatib, Lebeg integralini hisoblang. Bu yerda , agar , bo'lsa. sodda funksiya, chunki u o'lchovli to'plamlarda qiymatlarni qabul qiladi, , qator absolyut yaqinlashuvchi, shuning uchun Lebeg manosida integrallanuvchi va . 2-misol. Quyidagi funksiyaning Lebeg va Riman manosida integrallanuvchiligini tekshiring. Bu yerda , agar , -o'lchovli, chunki , to'plamlarda qiymatlarni qabul qiladigan sodda funksiyadir. Bu funksiya Lebeg manosida integrallanuvchi bo'lishi uchun (2) bo'ladi. (2) qator absolyut yaqinlashuvchi bo'lgani uchun funksiya Lebeg manosida integrallanuvchi bo'ladi. 3-misol. Ushbu integralni ta'rif bo'yicha hisoblang. a) b) a) ning integrallanuvchiligini isbotlash uchun unga yaqinlashuvchi integrallanuvchi sodda funksiyalar ketma-ketligini tuzamiz. U holda ta'rifga ko'ra . Har bir uchun funksiyani quyidagicha aniqlaymiz: Ko'rinib turibdiki,-sodda funksiya. Chunki u o'lchovli to'plamlarda mos ravishda qiymatlarni qabul qiladi. ketma-ketlikning ga tekis yaqinlashishini, yani bo'lishini ko'rsatamiz, ixtiyoriy son bo'lsin. funksiyaning aniqlanishiga ko'ra , shuning uchun . Ikkinchi tomondan bo'lganligi uchun bo'ladi. Faraz qilaylik, bo'lsin. U holda Demak, yani funksiyalar ketma-ketligi funksiyaga tekis yaqinlashadi. Endi integralni hisoblaymiz. Sodda funksiya uchun Lebeg integralining ta'rifiga ko'ra Demak, integrallanuvchi sodda funksiya, shuning uchun Lebeg manosida integrallanuvchi va . Lekin Riman manosida integrallanuvchi emas, chunki u chegaralanmagan. b) funksiyaga tekis yaqinlashuvchi integrallanuvchi sodda funksiyalar ketma-ketligi tuzamiz: funksiya to'plamda qiymatlarni qabul qiladigan sodda funksiya bo'lsin. U holda ketma-ketlik ga tekis yaqinlashadi (bu fikrni isbot qilishni o'quvchiga havola qilamiz). Shuning uchun ...