Lebeg integralining - additivligi va absolyut uzluksizligi

Lеbеg intеgralining - additivligi va absоlyut uzluksizligi Reja: 1. Lеbеg intеgralining - additivligi 2. Lеbеg intеgralining absоlyut uzluksizligi Tayanch so'zlar: o'lchоvli to'plam, o'lchоvli funksiya, jamlanuvchi funksiyalar, Lebeg integrali Lеbеg intеgralining - additivligi 1-teorema. (integralning to'la additivligi) .Agar funksiya to'plamda jamlanuvchi va o'zaro kesishmaydigan soni sanoqli, o'lchovli , to'plamlarning yig'indisidab iborat bo'lsa, u holda Isbot. Avvalo teoremani bo'lgan hol uchun isbotlaymiz. Bu holda funksiya va ihtiyoriy natural son uchun funksiyani tuzamiz. U holda 14- ma'ruzadagi 5-xossaga asosan munosabat o'rinli. Bundan 16- ma'ruzadagi 6-teoremaga asosan tengsizlik kelib chiqadi. Bu tengsizlikdan da limitga o'tib, (1) munosabatni olamiz. Ikkinchi tomondan, 14- ma'ruzadagi 5-teoremaga asosan Bundan to'plamda uchun har qanday natural son uchun ushbu munosabat orinli. Bu munosabatda avval ni, so'ng ni cheksizlikka intiltirib, ushbu tengsizlikni hosil qilamiz. tengsizliklardan hol uchun teoremaning isboti kelib chiqadi. bo'lgan hol uchun ham teorema huddi shunga o'xshash isbotlanadi. Umumiy holda teoremaning isboti oldingi ma'ruzadagi (3) formuladan va yuqorida ko'rilgan hollardan bevosita kelib chiqadi. 2-teorema. Agar va funksiyalar to'plamda jamlanuvchi bo'lsa, u holda ularning yig'indisi ham jamlanuvchi va Isbot. 1. Qisqalik uchun belgilash kiritamiz. Avval funksiyalar manfiy bo'lmagan holni ko'ramiz. Bu holda bo'ladi. Demak, . Bundan da ushbu munosabatlar kelib chiqadi. Shu bilan ko'rilayotgan hususiy hol uchun teorema isbot bo'ldi. Bundan , va ekanligi ravshan . Endi 1-teoremaga asosan har bir uchun tenglikni isbotlash kifoya. Bu tenglikning isboti har bir uchun o'xshash bo'lganligi sababli uni to'plamlarning biri masalan to'plam uchun isbotlash cheklanamiz. to'plamda bo'lgani uchun tenglikni ko'rinishda yozib, to'plamda bu tenglikning o'ng tomonidagi qo'shiluvchilarning har biri musbat ekanligiga erishamiz. Natijada yuqoridagi 1-holga asosan tenglikka ega bo'lamiz. Bundan 16 - ma'ruzadagi 2-teoremaga asosan tenglik kelib chiqadi Lеbеg intеgralining absоlyut uzluksizligi 3-teorema(integralning absolyut uzluksizligi ). Agar funksiya to'plamda jamlanuvchi va to'plamlar ketma-ketligining har biri ning qismi bo'lib, bo'lsa, u holda , ya'ni ihtiyoriy berilgan son uchun shunday son mavjudki, bo'lganda bo'ladi. Isbot. 16 - ma'ruzadagi (3) formulaga asoslanib, teoremani bo'lgan hol uchun isbot etish kifoya. funksiyaning jamlanuvchi bo'lganligidan ihtiyoriy son uchun shunday natural son mavjudki, uning uchun ushbu (3) tengsizlik bajariladi. funksiyaning ta'rifiga asosan (4) Teoremadagi shartga ko'ra, yuqoridagi va sonlar uchun shunday son topiladiki, uning uchun (5) tengsizlik bajariladi. (3)-(5) larga muvofiq Teorema isbotlandi. 4-teorema. (A.Lebeg). O'lchovli to'plamda jamlanuvchi funksiya va o'lchovli funksiyalar ketma-ketligi berilgan bo'lib, ning to'plamdagi barcha qiymatlari uchun ushbu (6) tengsizlik bajarilgan bo'lsin. Agar berilgan ketma-ketlik to'plamda funksiyaga o'lchov bo'yicha yaqinlashsa, u holda to'plamda funksiya jamlanuvchi va (7) munosabat o'rinli. Isbot. (6) tengsizlikdan va 16 - ma'ruzadagi 6-xossadan ...