Lebeg va Riss teoremalari

Lebeg va Riss teoremalari Reja: Lebeg teoremasi Riss teoremasi Tayanch so'zlar: funksiyalar ketma-ketligi, o'lchоvli to'plam, o'lchоvli funksiya 1-teorema. O'lchovli E to'plamda o'lchovli , ,…. funksiyalar ketma-ketligi berilgan bo'lsin . Agar E to'plamning har bir x nuqtasida tenglik bajarilsa, u holda f(x) funksiya E to'plamda o'lchovli bo'ladi. Isbot. Ixtiyoriy o'zgarmas sonni olib, va to'plarni tuzamiz. funksiya o'lchovli bo'lgani uchun to'plamlar o'lchovli. 6- ma'ruzadagi 5-teoremaga muvofiq to'plamlar ham o'lchovli bo'ladi. Agar tenglikni isbot qilsak, u holda 6- ma'ruzadagi 3-teoremaga asosan teorema isbot qilingan bo'ladi. Bu tenglikni isbot qilish uchun quyidagi ikki munosabatning to'g'riligini ko'rsatish kifoya: (1) (2) Faraz qilaylik, nuqta Efa to'plamning ixtiyoriy elementi bo'lsin, ya'ni ; bu tengsizlikdan foydalanib, yetarli katta m natural son uchun ushbu tengsizlikni yozishimiz mumkin.Ammo demak, shunday n natural sonni topish mumkinki,barcha kn uchun ya'ni munosabat o'rinli bo'ladi. Bundan ko'rinadiki, , ya'ni Efa to'plamning ixtiyoriy elementito'plamga ham kirar ekan. Demak, (1)munosabat isbot bo'ldi. Endi (2) munosabatni isbotlaymiz. bo'lsin; u holda shunday m va n natural sonlar mavjudki, ular uchun munosabat o'rinli. So'nggi munosabatdan barcha uchun . Ya'ni munosabat kelib chiqadi. ga nisbatan limitga o'tsak, quyidagi tengsizlikka kelamiz: ya'ni Bu bilan (2) munosabat ham isbot bo'ldi. 1-Ta'rif (F.Riss). O'lchovli E to'plamda deyarli chekli, o'lchovli f(x) funksiya va deyarli chekli, o'lchovli funksiyalar ketma-ketligi berilgan bo'lsin . Agar har qanday musbat son uchun ushbu munosabat bajarilsa, u holda funksiyalar ketma-ketligi f(x) funksiyaga o'lchov bo'yicha yaqinlashuvchi deyiladi va ko'rinishda yoziladi. 2-Teorema (A. Lebeg). f(x) funksiyaga o'lchovli E to'plamda deyarli yaqinlashuvchi o'lchovli funksiyalar ketma-ketligi berilgan bo'lsin. U holda funksiyalar ketma-ketligi E to'plamda f(x) funksiyaga o'lchov bo'yicha ham yaqinlashuvchi bo'ladi. Isbot. 1-teoremaga binoan f(x) funksiya E to'plamda o'lchovli bo'ladi. Quyidagi to'plamlarni tuzamiz: Teoremaning shartlariga ko'ra bu to'plamlarning har biri o'lchovli va (3) Ushbu munosabatlarga va 6- ma'ruzadagi 7-teoremaga muvofiq (4) Endi (5) munosabatni isbot qilamiz. Buning uchun P to'plamdan ixtiyoriy elementni olamiz. Agar bo'lsa, u holda bo'ladi. Demak , shunday n natural son topiladiki, uning uchun tengsizlik bajariladi yoki boshqacha aytganda, . Bundan va munosabatlar olinadi. Shu bilan (5) munosabat isbot bo'ldi. (3)-(5) munosabatlardan tenglik kelib chiqadi. Shu bilan o'lchov bo'yicha yaqinlashishning F.Riss ta'rifiga muvofiq teorema ham isbot etildi,chunki va demak , 3-Teorema (F.Riss). Agar funksiyalar ketma-ketligi E to'plamda f(x) funksiyaga o'lchov bo'yicha yaqinlashsa, u holda bu ketma-ketlikdan shunday qismiy ketma-ketlikni ajratib olish mumkinki, bu qismiy ketma-ketlik E to'plamda f(x) funksiyaga deyarli yaqinlashuvchi bo'ladi. Isbot. da bo'lgani uchun quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi sonlar ketma-ketliklari mavjud; va (6) …… …… Bu funksiyalar ketma-ketligining E to'plamda ...