Logarifmik funksiyalar, tenglamalar va tengsizliklar

Logarifmik funksiyalar, tenglamalar va tengsizliklar Reja: Logarifmlar va ularning asosiy xossalari O'nli va natural logarifmlar Logarifmik funksiya va uning grafigi Logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechish usullari Logarifmik tenglamalar Logarifmik tengsizlik Ko'rsatkichli va darajali tenglamalar va tengsizliklar sistemasini yechish Logarifmik tenglamalar va tengsizliklar sistemasini yechish Logarifmlar va ularning asosiy xossalari Quyidagi misollarni ko'ramiz: 1. 2x=4 ni yechish uchun 2x=22 deb yozamiz va x=2 yechimni topamiz. 2. 2x=5 bo'lsin. o'ng tomondagi 5 ni asosi 2 bo'lgan daraja ko'rini-shida tasvirlash mushkul. Lekin bu tenglamaning haqiqiy ildizi mavjud-ligi bizga ma'lum. Bunday tenglamalarni yechish uchun logarifm tu-shunchasi kiritiladi. Umuman olganda, ax=b (a0, a≠1, b0) tenglamaning ildizi a asosga ko'ra b sonning logarifmi deyiladi. Ta'rif: b sonning a asosga ko'ra logarifmi deb b sonni hosil qilish uchun a sonni ko'tarish kerak bo'ladigan daraja ko'rsatkichiga aytiladi va logab kabi belgilanadi. ax=b tenglamani (x=logab bo'lgani uchun) (1) ko'rinishida yozish mumkin. (1) formula asosiy logarifmik ayniyat deyi-ladi, bu yerda a0 a≠1 va b0 Misollar: 1) log216 2) log50,04 ning qiymatini toping. yechish: 1) 16=24 bo'lgani uchun, 16 ni hosil qilish uchun ikkini to'rtinchi darajaga ko'tarish kerak, demak log216=4. 2) ekanligi ma'lum. Shuning uchun log50, 04=-2 Misollar: 3. tenglamalarni qanoatlantiruv-chi x larni topamiz. yechish: Asosiy logarifmik ayniyatdan foydalanib: 3) 4) , ya'ni larni topamiz. Har qanday a0, b0, a≠1, b≠1, x0, y0 va haqiqiy istalgan n va m sonlar uchun quyidagi tengliklar bajariladi: Bu tengliklar ko'rsatkichli funksiya xossalaridan kelib chiqadi. Bulardan ba'zilarini isbot qilamiz. Logarifmik ayniyatdan foydalanib: ni topamiz. Bu tengliklarni hadlab ko'paytirsak yoki bo'lsak hosil bo'ladi. Bu tengliklardan logarifm ta'rifiga ko'ra 3) va 4) tengliklar kelib chiqadi. ayniyatning ikkala tomonini n - darajaga oshirsak, hosil bo'lib, bundan ni topamiz. Bir asosli logarifmdan boshqa asosli logarifmga o'tish formulasi 8) ni xususiy holda 9) ni isbotlash uchun quyidagicha amal qilamiz: Hosil bo'lgan x=ab ifodaning ikkala tomonidan b asosga ko'ra logarifm topamiz: Chap tomonga b ning qiymatini qo'yib, 8) formulani hosil qilamiz. Agar bu formuladan x=b desak, 9) formula hosil bo'ladi. 5-misol. Agar va bo'lsa, ni a va b orqali ifodalang? yechish: 6-misol. Agar bo'lsa, x ni toping. yechish: Bundan 12.2. O'nli va natural logarifmlar 1-ta'rif. Asosi a=10 bo'lgan logarifmlar o'nli logarifmlar deyiladi va lgx orqali ifodalanadi, ya'ni log10x=lgx 7-misol. lg100=lg102=2 8: lg0,01=lg10-2=-2 2-ta'rif. Natural logarifm deb asosi e son bo'lgan logarifmga aytiladi va lnx bilan belgilanadi, ya'ni logex=lnx, e soni irratsional son bo'lib, e=2,7182818284… amalda e≈2,7 deb qabul qilish mumkin. O'nli va natural logarifmlar orasida va bog'lanish mavjud. Amalda va tengliklardan ...