Lp sinflar va asosiy tengsizliklar

sinflar va asоsiy tеngsizliklar Reja 1. sinflar va asosiy tengsizliklar 2. Gyolder tengsizligi Tayanch so'zlar: o'lchоvli to'plam, o'lchоvli funksiya, o'lchov Biror o'lchovli E to'plamda aniqlangan va absolyut qiymatining darajasi bilan jamlanuvchi o'lchovli funksiyalar to'plami matematikaning turli sohalarida muhim tatbiqlarga egadir. Bu ma'ruzada mana shu to'plamlar bilan shug'ullanamiz. sinflar va asosiy tengsizliklar. Faraz qilaylik, biror o'lchovli X to'plamning barcha o'lchovli qism to'plamlari sistemasida aniqlangan - additiv o'lchov berilgan bo'lsin. X to'plamda o'lchov bo'yicha jamlanuvchi funksiyalar to'plamini orqali belgilaymiz. 1-ta'rif: Funksiyalarning sinfi deb integrali mavjud bo'lgan barcha o'lchovli funksiyalar to'plamiga aytiladi. Aytaylik, X to'plamning o'lchovi chekli bo'lsin, u holda X to'plamda o'lchovli bo'lgan har qanday funksiya uchun tengsizlik o'rinli bo'lgani tufayli munosabat kelib chiqadi. Ammo buning aksinchasi o'rinli emas. Bunga misol keltirish uchun X to'plamni segmentdan iborat deb, o'lchovni esa bu segmentdagi Lebeg o'lchovi deb olamiz. Agar bo'lsa, u holda , ammo . So'ngi munosabat sinfning ta'rifidan kelib chiqadi. Agarda X to'plamning o'lchovi cheksiz bo'lsa, u holda munosabat o'rinli emas. Haqiqatan, agar X ni barcha haqiqiy sonlar to'plami ya'ni oraliq deb, o'lchovni esa Lebeg o'lchovi deb olsak, u holda funksiya sinfning elementi bo'lib, ammo u sinfning elementi bo'lmaydi. CHunki bu funksiya oraliqda jamlanuvchi emas. Biz quyida soddalik uchun X to'plamni oraliqdan iborat deb, o'lchovni esa Lebeg o'lchovi deb olamiz. Bu hol uchun sinfni qisqalik maqsadida orqali belgilaymiz. Ba'zi bir mulohazalarni esa oraliqning chegaralangan qismi uchun olib boramiz. 1-teorema(Bunyakovskiy-Shvarts tengsizligi). Agar va funksiyalar sinfga kirsa, u holda va (1) munosabat o'rinli. Isbot: ko'paytmaning jamlanuvchiligi ushbu munosabatdan bevosita kelib chiqadi. (1) tengsizlikning o'rinliligini ko'rsatish uchun quyidagi tengsizlikka murojaat qilamiz: bu yerda va Ma'lumki, ifoda ning hamma haqiqiy qiymatlarida manfiy bo'lmasligi uchun musbat bo'lgan holda koeffitsientlar ushbu tengsizlikni qanoatlantirishi zarur va kifoyadir. Bundan esa (1) tengsizlik bevosita kelib chiqadi. 2-natija: va funksiyalar sinfga kirsa, u holda Isbot : (1) tengsizlikni funksiyaga tatbiq qilishdan kelib chiqadi 3-natija: Agar va funksiyalar ga kirsa, u holda ham ga kiradi. Bu natija tenglikdan kelib chiqadi, chunki uning o'ng tomonidagi funksiyalar jamlanuvchi funksiyalardir. 2. Gyolder tengsizligi 4-teorema:(Gyolder tengsizligi). Agar bo'lib, bo'lsa, u holda va (2) munosabatlar o'rinli bo'ladi. Isbot: funksiyani qaraymiz. Bu funksiya qiymatlarda musbat va o'suvchi funksiyadir. Shuning uchun ham teskari funksiya mavjud. o'qdan ixtiyoriy nuqtani, o'qdan esa ixtiyoriy nuqtani olib, bu nuqtalar va funksiyaning grafigi yordamida va egri chiziqli uchburchaklarni hosil qilamiz. Hosil bo'gan uchburchaklarning yuzlari mos ravishda va sonlarga teng. Ikkinchi tomondan, shakldan tengsizlikning o'rinli ekanini ko'rish qiyin emas. Tenglik ishorasi esa bo'lgandagina o'rinlidir, chunki bu holdagina ...