Monoton funksiyalar va ularning differensiallanuvchanligi

Mоnоtоn funksiyalar va ularning diffеrеnsiallanuvchanligi Reja: 1. Monoton funksiyalar 2. Monoton funksiyalarga misollar 3. Monoton funksiyaning differensiyallanuvchanligi Tayanch so'zlar: monoton funksiya, o'lchоvli to'plam, o'lchоvli funksiya, jamlanuvchi funksiyalar,chegarlangan funksiya. Monoton funksiyalar 1-ta'rif. segmentda aniqlangan funksiya berilgan bo'lsin. Agarda har qanday uchun bo'lganda tengsizlik o'rinli bo'lsa, funksiya monoton kamaymaydigan funksiya bo'ladi. Monoton o'smaydigan funksiyaning ts'rifi ham shuning singari beriladi. Barcha haqiqiy sonlar to'plamida berilgan har qanday funksiya uchun va limitlar mavjud bo'lsa, bu limitlar mos ravishda funksiyaning nuqtadagi o'ng va chap limitlari deyiladi hamda mos ravishda va orqali belgilanadi. Agar bo'lsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi. Mabodo va lar mavjud bo'lib, bir - biriga teng bo'lmasa, u holda funksiya nuqtada bir tur uzilishga ega deyiladi va ayirmani qiymati funksiyaning shu nuqtadagi sakrashi deyiladi. Monoton kamaymaydigan funksiyaning ba'zi bir xossalarini quyida keltiramiz. 1 - teorema. segmentda monoton kamaymaydigan har qanday funksiya shu segmentda o'lchovli, chegaralangan hamda jamlanuvchi funksiyadir. Isbot. Haqiqatan, funksiyaning segmentda monotonligidan har qanday uchun tengsizlik o'rinli. Bunday funksiyaning segmentda chegaralanganligi kelib chiqadi. Endi uning o'lchovi ekanini ko'rsatamiz. Shu maqsadda istalgan haqiqiy son uchun ushbu to'plamni qaraymiz. funksiyaning monotonligidan tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalar mavjud bo'lsa, to'plam yoki segment yoki yarim segment ko'rinishidagi to'plam ekanligi kelib chiqadi. Bu esa to'plamning o'lchovi ekanligini ko'rsatadi. Bundan funksiyaning o'lchovli ekanligi kelib chiqadi. Endi 36.1- teoremaga asosan funksiya segmentda jamlanuvchi bo'ladi. 2 - teorema. Monoton funksiyaning uzilish nuqtalari birinchi turdagi bo'lishi mumkin. Isbot. Haqiqaan, ixtiyoriy nuqta bo'lib, ketma - ketlik nuqtaga chapdan yaqinlashsin, ya'ni 1 - teoremaga asosan ketma -ketlik quyidan va yuqoridan mos ravishda va sonlar bilan chegaralangandir. Matematik analizdagi monoton ketma - ketlikning limiti haqidagi teoremaga asosan bunday ketma - ketlik limitga ega. funksiyaning monotonligiga asosan bu limit nuqta yagonadir. Shu bilan ning mavjudligi isbotlandi. ning mavjudligi shunga o'xshash isbotlanadi. 3 - teorema. Monoton funksiyaning uzilish nuqtalari to'plami ko'pi bilan sanoqlidir. Isbot. Haqiqatan, segmentda monoton bo'lgan funksiyaning chekli sondagi sakrashlarning yig'indisi ayirmadan katta bo'la olmaydi. Bundan quyidagi muhim natija kelib chiqadi: har bir natural son uchun qiymati dan katta bo'lgan sakrashlar soni cheklidir. Bulardan, bo'yicha qo'shib chiqib, sakrash nuqtalardan iborat to'plam chekli yoki sanoqli degan xulosani olamiz. 2 - ta'rif. Agar segmentda aniqlangan monoton funksiya uchun nuqtada tenglik bajarilsa, u nuqtada chapdan uzluksiz, agarda tenglik bajarilsa, nuqtada o'ngdan uzluksiz funksiya deyiladi. 4- teorema: Chapdan uzliksiz bo'lgan har qanday monoton funksiyani yagona usul bilan uzliksiz monoton funksiya va chapdan uzliksiz bo'lgan sakrash funksiyaning yig'indisi sifatida yozish mumkin. Isbot: Aytaylik, funksiya chapdan uzliksiz monoton funksiya bo'lsin. Bu funksiyaning uzilish ...