Monoton ketma - ketlik limiti. e soni

Monoton ketma-ketlik limiti. e soni Reja: 1. Monoton ketma-ketlik limiti. 2. e soni. 3. Ikkinchi ajoyib limit 4. Natural logarifmlar Monoton ketma-ketlik. Ta'rif. Agar ixtiyoriy n uchun xnxn+1 (xnxn+1) tengsizlik o'rinli bo'lsa, (xn) ketma-ketlik kamayuvchi (o'smovchi) deyiladi. Bu ikki xil ketma-ketlik keng ma'noda kamayuvchi deyiladi. Yuqoridagi to'rt xil ketma-ketlik bir so'z bilan monoton ketma-ketliklar deyiladi. Teorema Agar (xn) ketma-ketlik o'suvchi bo'lib, yuqoridan chegaralangan bo'lsa, u chekli limitga ega; agar yuqoridan chegaralanmagan bo'lsa, u holda xn =+ bo'ladi. Isbot. (xn) o'suvchi va yuqoridan chegaralangan bo'lsin. U holda xn to'plam ham yuqoridan chegaralangan bo'ladi, shuning uchun uning aniq yuqori chegarasi mavjud, uni a=sup xn deb olaylik, a ni (xn) ketma-ketlikning limiti bo'lishligini ko'rsatamiz. a son xn to'plamning aniq yuqori chegarasi bo'lganidan barcha n lar uchun xn a va har bir 0 uchun shunday n0 mavjud bo'lib, a- bo'ladi. (xn) o'suvchi ketma-ketlik bo'lganligidan barcha nn0 lar uchun bo'ladi. Yuqoridagilardan a- xn 0 son uchun shunday n0 son topilib, M bo'ladi. (xn) o'suvchi bo'lganligidan nn0 lar uchun xn M kelib chiqadi. Demak, xn=+. Teorema Agar (xn) ketma-ketlik kamayuvchi bo'lib, quyidan chegaralangan bo'lsa, u chekli limitga ega, agar quyidan chegaralanmagan bo'lsa, u holda xn =- bo'ladi. Bu teoremani yuqoridagi usulda isbotlash mumkin. Misol.1. ketma-ketlikning limitini toping. Bundan barcha n larda xn xn+1 ekanligi kelib chiqadi. Bu ketma-ketlikning kamayuvchi ekanini ko'rsatadi. Barcha xn 0 ekanligidan (xn)=() ketma-ketlikning chekli limitga ega ekanligini kelib chiqadi. Uni xn =a bilan belgilasak, xn+1= xn dan a=a0 bo'lib, a=0 kelib chiqadi. Demak, =0 ekan. 2. xn= ketma-ketlikning limitini toping, bu yerda a0. Bu yerda bo'lib, barcha n larda xn ...