Oddiy qatlam potentsialining normal hosilasi

Oddiy qatlam potentsialining normal hosilasi Reja: Oddiy qatlam potentsialining normal hosilasi. Dirixlening ichki masalasi. Neymanning tashqi masalasi. Tayanch tushunchalar Oddiy qatlam potentsialining ko'rinishi, Dirixlening ichki masalasi qanday ko'rinishda izlanadi, Neymanning tashqi masalasi qanday ko'rinishda izlanadi. Avvalgiday S ni yopiq Lyapunov sirti deb hisoblaymiz. fazoning ixtiyoriy nuqtasi, n esa x nuqtadan o'tuvchi S sirtning tashqi normali bo'lsin. Agar bo'lsa, u holda (19) potentsialning n normal yo'nalishi bo'yicha hosilasini to'g'ridan-to'g'ri integral belgisi ostida differensiallash bilan hisoblash mumkin: bo'lgani uchun (22) Bunga asosan (23) bo'lsin. Agar zichlik integrallanuvchi va chegaralangan, bo'lsa, (23) integral yaqinlashuvchi bo'lishini isbotlaymiz. S sirtning sfera ichida yotuvchi qismini ajratib olamiz. Ushbu integralning yaqinlashuvchi bo'lishini ko'rsatish etarli. Markazi x nuqtada bo'lgan koordinatalar sistemasini kiritib, ohirgi integralni ko'rinishda yozib olamiz. Bu integral ostidagi funksiyani baholaymiz: tengsizliklarga asosan, oldingi tengsizlik quyidagi ko'rinishda yoziladi: . Bu tengsizlik, (23) integralning yaqinlashuvchanligini bildiradi. (23) integralning nuqtasidagi qiymati oddiy qatlam potentsial normal hosilasining tug'ri qiymati deyiladi va orqali belgilanadi. S sirtning ichidan yoki tashqarsidan dagi ning limit qiymatlarini (agar ular mavjud bo'lsa), yani ni , orqali begilaymiz. Teorema. Agar S yopiq Lyapunov sirti bo'lib, zichlik S da uzluksiz funksiya bo'lsa, oddiy Šatlam potentsiali S da uning ichidan ham tashqarisidan ham tug'ri normal hosilalarga ega bo'ladi va bu hosilalar quyidagi formulalar orqali ifodalanadi: (24) (25) 4. Dirixlening ichki masalasi. D sohada garmonik da uzluksiz va (26) Chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi funksiya topilsin. Dirixle masalasini (27) ikkilangan qatlam ko'rinishida izlaymiz. (26) chegaraviy shart va (8) formulaga asosan tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikda o'rniga yozib, uni ga kupaytirib, nomalum funksiyaga nisbatan ushbu (28) integral tenglamaga ega bo'lamiz. 5. Neymanning tashqi masalasi. sohada garmonik, uning normal bo'yicha olingan hosilasi da avvaldan berilgan qiymatlarni qabul qilsin, yani (29) hamda funksiyaning o'zi cheksiz uzoqlashgan nuqtada bo'lgan holda nolda, da esa chekli limitga intiladigan funksiya topilsin. Neyman masalasini (30) oddiy qatlam ko'rinishida izlaymiz. (29) chegaraviy shart va (24) formulaga asosan tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikda o'rniga yozib, uni ga ko'paytirib, nomalum funksiyaga nisbatan ushbu (31) integral tenglamaga ega bo'lamiz. Endi Dirixlening ichki va Neymanning tashqi masalalariga mos keladigan integral tenglamalar ixtiyoriy uzluksiz funksiyalar uchun yagona yechimga ega bo'lishini ko'rsatamiz. Shu maqsadda (31) tenglamaga mos bo'lgan ushbu (32) bir jinsli tenglamani tekshiramiz. Faraz qilaylik, (32) tenglamaning noldan farqli bo'lgan uzluksiz yechimi mavjud bo'lsin. Bu yechim yordamida quyidagi oddiy qatlam potentsialini tuzamiz: bu potentsial S tashqarisidan to'g'ri normal hosilaga ega va bu (24) formulaga asosan ushbu ko'rinishga ega: bundan (32) tenglamaga asosan, bu normal hosilaning nolga ...