O'lchovli funksiyalar. O'lchovli funksiyalar ustida amallar

O'lchоvli funksiyalar. O'lchоvli funksiyalar ustida amallar Reja: O'lchоvli funksiyalar O'lchоvli funksiyalar ustida amallar. Tayanch so'zlar: to'plamlar ketma-ketligi, o'lchоvli to'plam, o'lchоvli funksiya. O'lchоvli funksiyalar Uzluksiz funksiya tushunchasiga ba'zi ma'noda yaqin va matematik analiz uchun muhim ahamiyatga ega bo'lgan o'lchovli funksiya tushunchasini keltiramiz. Avval ba'zi belgilashlarni kiritamiz: funksiya o'lcholi to'plamda aniqlangan va biror haqiqiy son bo'lsin;o'zgaruvchi miqdorning tengsizlikning qanoatlantiradigan qiymatlardan iborat to'plamni bilan belgilaymiz ya'ni . SHunga o'xshash to'plamlarning har biri o'zgaruvchining katta qavs ichida yozilgan munosabatlarini qanoatlantiradigan qiymatlaridan iborat. Agar funksiya to'plamda cheksiz qiymatlarga ega bo'lsa, kelgusida aniqlik uchun ,bu qiymatlarning ishorasi ma'lum deb hisoblaymiz. 1-Ta'rif. Agar o'lchovli to'plamda berigan funksiya uchun har qanday haqiqiy da o'lchovli bo'lsa, u holda funksiya o'lchovli funksiya deyiladi. Bu yerda o'lchovli to'plam va funksiyalar ma'nosida ishlatiladi 1-Teorema . Agar funksiya to'plamda o'lchovli bo'lsa, u holda har qanday haqiqiy va sonlar uchun to'plamlarning har biri ham o'lchovli bo'ladi. 2. Agar ixtiyoriy haqiqiy va sonlar uchun 1),2),4),5) to'plamlarning birortasi o'lchovli bo'lsa, funksiya to'plamda o'lchovli bo'ladi. Isbot.1) vato'plamlar o'lchovli bo'lganligi uchun tenglikdan to'plamning o'lchovli ekanligi kelib chiqadi. 2) tengsizlikning o'nh tamonidagi to'plamlar o'lchovli ,demak, to'plam ham o'lchovli. 3) tenglikning o'ng tamonidagi to'plamlar o'lchovli bo'lgani uchun 20.5-teoremaga muvofiq,bu to'plam ham o'lchovli bo'ladi. 4) tenglikning o'ng tamonidagi to'plam 20.1-teoremaga asosan o'lchovli,demak, to'plam ham o'lchovli bo'ladi. 5) tenglikdan to'plamning o'lchovliligi kelib chiqadi. Teoremaning ikkinchi qismi birinchi qismiga o'xshash isbotlanadi. 2-Teorema. Agar funksiya to'plamda o'lchovli bo'lsa, u holda bu funksiya to'plamning ixtiyoriy o'lchovli qismida ham o'lchovli bo'ladi. Isbot. 1-ta'rifga muvofiq har qanday haqiqiy son uchun to'plamning o'lchovli ekanligi ko'rsatilsa, teorema isbot etilgan bo'ladi. Bu to'plamning o'lchovliligi ushbu tenglikdan kelib chiqadi, chunki va to'plamning har biri teoremaning shartiga muvofiq o'lchovli, to'plam ham o'lchovli. O'lchоvli funksiyalar ustida amallar. 3-Teorema. soni chekli yoki sanoqli, har biri [a,b] segmentda butunlay joylashgan, o'lchovli to'plamlar ketma-ketligi bo'lsin. Agar funksiya bu to'plamlarning har birida o'lchovli bo'lsa ,u holda bu funksiya ularning yig'indisida ham o'lchovli boladi. Isbot .1-ta'rifga va teoremaning shartiga muofiq har qanday k uchun va to'plamlarning har biri o'lchovli bo'ladi.Demak 6 - ma'ruzadagi 3-teoremaga muvofiq to'plam ham o'lchovli bo'ladi. Endi tenglikdan esa o'lchovli ekanligi kelib chiqadi. 4-Teorema. Agar funksiya o'lchovli to'plamda o'zgarmas songa teng bo'lsa, uholda o'lchovli funksiya bo'ladi. Isbot . Darhaqiqat 5-Teorema. Agar o'lchovli funksiya bo'lib, o'zgarmas son bo'lsa, u holda vafunksiyalar ham o'lchovli bo'ladi. Isbot.Ushbu tengliklardan va funksiyalarning o'lchovli ekanligi kelib chiqadi. Agar bo'lsa,ikkinchi tenglikning o'ng tomoni o'z tomoni o'z ma'nosini yo'qotadi, amo bu holda aynan nolga teng bo'lganligi uchun 4-teoremadan funksiyaning o'lchovli ekanligi kelib chiqadi. ...