O'lchovli to'plamlar haqidagi teoremalar

O'lchоvli to'plamlar haqidagi tеоrеmalar Reja: 1. O'lchоvli to'plamlar haqidagi tеоrеmalar 2. O'lchovning additivlik xossasi Tayanch tushunchalar: to'plam o'lchovi, tashqi o'lchov, ichki o'lchov, sanoqli to'plam 1-Teorema. Agar to'plam o'lchovli bo'lsa, u holda ham o'lchovli to'plam bo'ladi. Isbot. o'lchovli bo'lganligi uchun Ichki o'lchovning ta'rifiga muvofiq, yoki (1) Shuning singari (2) (1) va (2) dan tengliklar, ya'ni to'plamning o'lchovli ekanligi kelib chiqadi. 2-Teorema(A.Lebeg). to'plam o'lchovli bo'lishi uchun uni (3) ko'rinishda yozish mumkinligi zarur va kifoyadir, bu tenglikning o'ng tomonida , va to'plamlar ihtiyoriy berilgan songa muvofiq quyidagicha tuzilgan: o'zora keshishmaydigan soni cekli oraliqlar sistemasining yig'ndisidan iborat, va ning har biri tashqi o'lchovi sondan kichik bo'lgan to'plamlar. (3) tenglik bajarilganda quyidagi munosabat ham o'rinli bo'ladi: (4) Zarurligini isboti. to'plam o'lchovligidan foydalanib, uni (3) ko'rinishda yozish mumkinligini ko'rsatamiz. to'plam o'lchvli bo'lgani uchun: Tashqi o'lchov tarifidan foydalanib,o'zaro keshishmaydigan shunday oraliqlar sistemasini tuzish mumkinki, bular uchun (5) (6) munosabatlar o'rinli bo'ladi. Bu sistemadan daslabki oraliqning yigindisini bilan belgilaymiz, yani to'plamning to'plamga kirmagan elementlaridan iborat bo'lgan to'plamni bilan belgilasak, (6) munosabatga asosan ushbu (7) munosabatga ega bo'lamiz. Agar to'plamning to'plamga kirmagan elementlaridan iborat bo'lgan to'plamni bilan belgilasak , to'plamlarning tuzilishiga muvofiq tenglik o'rinli bo'ladi. to'plam o'zaro keshishmaydigan ta oraliqning yig'indisidan iborat bo'lgani uchun o'lchovli to'plam bo'ladi va uning o'lchovi (5) tengsizlikdan qatorning yaqinlashishi kelib chiqadi . Bundan berilgan uchin nomerni shunday tanlashimiz mumkinki, natijada (8) tenglik o'rinli bo'ladi. (7), (8) munosabatdan esa tengsizlik kelib chiqadi. Faraz qilaylik, to'plamni o'z ichiga olgan eng kichik segment bo'lsin. U holda 1-teoremaga asosan to'plam o'lchovli bo'ladi. Tashqi o'lchovning ta'rifidan foydalanib, o'zaro kesishmaydigan shunday oraliqlar sistemasini tuzamizki, bular uchun ushbu (9) va (10) munosabatlar o'rinli bo'ladi. (9) va (10) munosabatlardan munosabat kelib chiqadi. Bundan ushbu tengsizlikka ega bo'lamiz. Bunga (5) va (9) tengsizliklarni qo'llab, yoki (11) tengsizlikni olamiz. to'plamning ta'rifiga muvofiq, Bundan to'plam tuzilishiga va (10) munosabatga asosan, ushbu munosabatni olamiz. Demak, Bundan (11) tengsizlikka asosan tengsizlik kelib chiqadi. Zarurligi isbotlandi. Kifoyalikning isboti. Endi to'plamni (3) ko'rinishda yozishimiz mumkin deb olib, uning o'lchovli ekanligini isbotlaymiz. to'plamlarning tuzilishiga asosan quyidagi va , () munosabatlar o'rinli. Tashqi o'lchovning hossasiga asosan va (12) Ichki o'lchovning ta'rifiga asosan hamda (12) tengsizlikdan tengsizlikka ega bo'lamiz. Demak Bu tengsizliklar ihtiyoriy uchun o'rinli ekanligidan quyidagi tenglik kelib chiqadi: Bu esa to'plamning o'lchovli ekanligini ko'rsatadi. 3-Teorema. Agar o'lchovli to'plamlar bo'lsa, ularning yig'indisi ham o'lchovli to'plam bo'ladi; yig'indining hadlari o'zaro kesismaydigan to'plamlardan iborat bo'lsa, yig'indining o'lchovi hadlari o'lchovlarining yig'indisiga teng bo'ladi. Isbot. Teorema hadlarining soni ikki to'plamdan iborat bo'lgan hol uchun isbot ...