O'lchovli to'plamlar. O'lchovli funksiyalar

Reja: O'lchovli to'plamlar. Tekislikdagi chegaralangan A to'plam uchun tashqi o'lchov tushunchasini kiritamiz. A to'plam chegaralangan bo'lgani uchun u biror Ye ( tomonlari va o'qlari parallel) to'gri to'rtburchakning qism to'plamidan iborat bo'ladi (6 -rasm). 6-rasm. Ye to'gri to'rtburchakdagi barcha (tomonlari va o'qlariga parallel) to'gri to'rtburchaklar sistemasini bilan belgilaymiz. sistema yarim halqa tashkil qiladi. Haqiqatan, har qanday to'gri to'rtburchaklar uchun xam to'gri to'rtburchak (agar ular kesishmasa, bo'sh to'plam) ekanligi ravshan, yani . Endi to'gri to'rtburchaklar uchun bo'lsin. U holda to'gri to'rtburchakning ta'riflanishidan shunday to'gri to'rtburchaklar topiladiki, to'plam to'gri to'rtburchaklarning yig'indisidan iborat bo'ladi, yani . Endi yarim halqada to'plam funksiyasini aniqlaymiz. Agar bo'lsa, deymiz. Agar (yopiq, ochiq yoki yarim ochiq) to'gri to'rtburchak bo'lsa, u holda bilan uning yuzasining son qiymatini belgilaymiz. Masalan, bo'lsa, bo'ladi. to'plam funksiyasini bazi xossalarini isbotsiz keltiramiz. 10. uchun ; 20. Agar bo'lsa, u holda bo'ladi. yarim halqani o'zida saqlovchi minimal halqani bilan belgilaylik. bo'lgani uchun har qanday uchun shunday (1) to'rtburchaklar mavjudki, bo'ladi. Endi da to'plam funksiyasini quyidagicha aniqlaymiz . Bu o'lchov to'plamning (1) ko'rinishiga bog'liq emas. Faraz qilaylik soni chekli yoki sanoqli to'gri to'rtburchaklar sistemasi bo'lib, to'plamni qoplasin: . Malumki, bunday to'gri to'rtburchaklar sistemasini cheksiz ko'p usul bilan tuzish mumkin. Shuning uchun yig'indi xam cheksiz ko'p qiymatga ega va har bir uchun bo'lganligi uchun bu yig'indi quyidan chegaralangan bo'ladi. 1-ta'rif. A to'plamning tashqi o'lchovi deb songa aytiladi va kabi belgilanadi. Bunda infimum to'plamni koplovchi to'g'ri turtburchaklar sistemasi bo'yicha olinadi. 2-ta'rif. Agar to'plam uchun shunday to'gri to'rtburchaklar topilib, bo'lsa, to'plam elementar to'plam deyiladi. 3-ta'rif. Ixtiyoriy soni uchun shunday elementar to'plam topilib, tengsizlik bajarilsa, A to'plam Lebeg manosida o'lchovli to'plam deyiladi. Ixtiyoriy -o'lchamli fazoda xam Lebeg o'lchovi tushunchasi xuddi shunday kiritiladi. O'lchovning additivlik, -additivlik, uzluksizligi, yarim halqadan halqaga davom qilishi kabi xossalarini [1] va [2] adabiyotlardan batafsil o'rganishni tavsiya qilamiz. 1-misol. to'plam o'lchovli to'plam ekanini ko'rsating va o'lchovini toping (7-rasm). Malumki, agar ixtiyoriy soni uchun shunday B elementar to'plam topilib, tengsizlik bajarilsa, A to'plam o'lchovli to'plam deyiladi. Ushbu sonlarni aniqlab, quyidagicha to'plamlar ketma -ketligini tuzamiz: Endi to'gri to'rtburchaklar birlashmasidan iborat bo'lgan elementar to'plam tuzamiz (8-rasm). Agar bo'lsa, u holda munosabat o'rinli bo'ladi (9-rasm). - elementar to'plam bo'lgani uchun . Demak, A o'lchovli to'plam ekan. Endi uni o'lchovini topamiz. va bo'lgani uchun . Demak, . Endi elementar to'plamni qaraymiz. bo'lgani uchun bo'ladi. Agar ekanini hisobga olsak, bo'ladi. Demak, . 7-rasm. 8-rasm. 9-rasm. 2-misol. Quyidagi to'plamni tuzilishini qarab o'lchovini toping. Bu yerda A o'nli kasr ko'rinishida yozilganda ketma-ket 2 marta 3 raqami ...